UNICAMP – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – 2021.2 - 5ª Tarde – Questão 3
Determine o ponto sobre o gráfico da função onde o plano tangente é paralelo a plano . Determine também a equação do plano tangente.
Passo 1
Eaeeee, belezinha???
Seguinte... nessa questão temos uma função de duas variáveis, , dada por:
Sabemos que, para cada um dos pares podemos determinar um plano tangente a . O objetivo da questão é que calculemos o par cujo plano tangente a nesse ponto é paralelo ao plano:
Sacou a ideia?
Mas... como podemos fazer isso?
Passo 2
Bom, sabemos que de forma geral, um plano tangente qualquer a é dado por:
onde:
Logo:
Analogamente, temos:
Daí, substituindo na equação geral do plano tangente, temos:
Fazendo , vem:
Manipulando a expressão:
Massa! Essa é a equação para um plano tangente à em um ponto genérico ). O que queremos saber agora é qual ponto nos dá um plano que também é paralelo a:
Passo 3
Para que esse plano seja paralelo ao plano , o vetor normal de um plano deve ser a combinação linear do outro. Dessa forma, temos:
Logo:
Daí, pela última equação temos:
Substituindo nas outras duas, encontramos:
e
Passo 4
Com esses valores de e , temos para :
Portanto, o ponto de tangência é .
E o plano é dado por:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
