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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – 2021.2 - 5ª Tarde – Questão 2

Determine os pontos da superfície y 2 = 9 + x z que estão mais próximos e mais distantes da origem, isto é, de ( x , y , z ) = ( 0,0 , 0 ) .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... a questão nos dá uma superfície que é dada pela equação y 2 = 9 + x z e nos pede para determinar dois pontos: um que está mais próximo da origem e outro que está mais distante.

seja a distância entre um ponto   ( x , y , z ) e a origem dada a seguir:

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2 = x 2 + y 2 + z 2

Porém, sabemos que y 2 = 9 + x z , logo:

d = x 2 + x z + z 2 + 9

d 2 = x 2 + x z + z 2 + 9

Passo 2

Observando essa expressão para d 2 , sabemos que para minimizar a função devemos achar os seus pontos críticos, e que ao minimizar d 2 , minimizamos também d . A partir disso, temos:

∂ d 2 ∂ x = f x = 2 x + z = 0

∂ d 2 ∂ z = f z = x + 2 z = 0

Logo, temos o sistema:

2 x + z = 0  

x + 2 z = 0

Que resulta em x = 0 e z = 0 .

Assim, temos que d 2 tem apenas um ponto crítico para x = 0 e z = 0 .

Passo 3

Consequentemente vemos que um ponto crítico qualquer da função original ocorre em ( 0 , y , 0 ) . Portanto, temos:

y 2 = 9 + 0 ∙ 0

y = ± 3

Ou seja, pontos críticos ( 0,3 , 0 ) e ( 0 , - 3,0 ) .

Passo 4

Pelo teste da derivada segunda, vamos definir se esses pontos são de mínimo ou máximo:

  • f x x 0,0 = f z z 0,0 = 2

    • f x z 0,0 = 1

    D 0,0 = f x x ∙ f z z - f x z 2 = 2 ∙ 2 - 1 = 3

  • f x x 0,0 = 2 > 0

Assim, como D 0,0 > 0 e f x x 0,0 > 0 , os pontos críticos são pontos de mínimo!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

( 0,3 , 0 ) e ( 0 , - 3,0 )

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