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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 2c

Determine ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ z para as seguintes funções de três variáveis

c )   f x , y , z = y e x s e n ( x z )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de três variáveis:

f x , y , z = y e x s e n ( x z )

E pediu para calcularmos as derivadas parciais

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

∂ f / ∂ x , por exemplo, vamos considerar y e z como se fossem números, mas sem fazer qualquer conta com eles. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Lembra que derivada de constante é zero!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f / ∂ x . Nossa função é

f x , y , z = y e x s e n x z

E vamos considerar y e z como constantes! Assim é como se fosse derivada de um produto!

Então a derivada não é aplicada no y e no z! Só na parte em x :

∂ f ∂ x = y e x .   s e n x z + y e x . cos ⁡ x z . z

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ x = y e x s e n x z + y z e x c o s ⁡ ( x z )

E é isso! Beleza?

Agora vamos calcular as outras parciais? Bora lá!

Passo 3

Agora vamos considerar x e z constantes!

A função é:

f x , y , z = y e x s e n ( x z )

Derivando temos:

∂ f ∂ y = e x s e n ( x z )

Aí fica só assim porque tudo que tem x , z é considerado número, então fica multiplicando ali na frente.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Vamos calcular a última parcial? Para essa última vamos considerar x e y constantes!

Nossa função é

f x , y , z = y e x s e n ( x z )

Agora derivando APENAS em z :

∂ f ∂ z = y e x cos ⁡ x z .   x

∂ f ∂ z = x y e x cos ⁡ ( x z )

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ x = y e x s e n x z + y z e x c o s ⁡ ( x z )

∂ f ∂ y = e x s e n ( x z )

∂ f ∂ z = x y e x cos ⁡ ( x z )

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