Determine a taxa de variação máxima de

f x ,   y = sin ⁡ x y

no ponto ( 1 ,   0 ) e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a taxa de variação máxima da função de duas variáveis f x ,   y = sin ⁡ x y no ponto ( 1 ,   0 ) e a direção em que isso ocorre.

Pra descobrir a taxa de variação máxima da função, nós vamos precisar calcular o módulo do vetor gradiente ∇ f ( x ,   y )   , porque o valor máximo da derivada direcional ocorre na direção do vetor gradiente. Então, vamos utilizar a equação:

∇ f x ,   y = ( f x ,   f y )

Onde f x é a derivada parcial de f em relação a x e f y é a derivada parcial de f em relação a y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de f x ,   y = sin ⁡ x y :

∇ f x ,   y = y cos ⁡ x y ,   x cos ⁡ x y

No ponto x ,   y = ( 1 ,   0 ) , temos:

∇ f 1 ,   0 = 0 ∙ cos ⁡ 1 ∙ 0 , 1 ∙   cos ⁡ ( 1 ∙ 0 )

∇ f 1 ,   0 = ( 0 ,   1 )

Para calcular a taxa máxima de variação, vamos calcular o módulo desse vetor:

∇ f ( 1 ,   0 )   = 0 2 + 1 2 = 1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f ( 1 ,   0 )   = 1

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