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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.5.4

5] Encontrar as derivadas parciais correspondentes em cada caso

(4) h x , y , z = e x y z + a r c t g 3 x y z 2 ;   ∂ y h x , y , z

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função h x , y , z = e x y z + a r c t g 3 x y z 2 com relação a y

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar h em função de y , ou seja, x e z se comportam como constantes.

∂ y h x , y , z = ∂ e x y z + a r c t g 3 x y z 2 ∂ y = ∂ e x y z ∂ y + ∂ a r c t g 3 x y z 2 ∂ y

Pela regra da cadeia, temos que a derivada do primeiro termo é dada por

∂ e x y z ∂ y = ∂ x y z ∂ y ∂ e u ∂ u

∂ e x y z ∂ y = x y e u

Voltando u para x y z

∂ e x y z ∂ y = x y e x y z

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos aplicar a regra da cadeia novamente para o segundo termo

∂ a r c t g 3 x y z 2 ∂ y = ∂ 3 x y z 2 ∂ y ∂ a r c t g v ∂ v

∂ a r c t g 3 x y z 2 ∂ y = 3 x z 2 1 v 2 + 1

Voltando v para 3 x y z 2 e substituindo os resultados em ∂ y h x , y , z

∂ a r c t g 3 x y z 2 ∂ y = 3 x z 2 1 3 x y z 2 2 + 1

∂ y h x , y , z = ∂ e x y z ∂ y + ∂ a r c t g 3 x y z 2 ∂ y

∂ y h x , y , z = x y e x y z + 3 x z 2 1 3 x y z 2 2 + 1

Simplificando o resultado...

∂ y h x , y , z = x y e x y z + 3 x z 2 9 x 2 y 2 z 4 + 1

∂ y h x , y , z = x y e x y z + 3 x 9 x 2 y 2 z 2 + z 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ y h x , y , z = x y e x y z + 3 x 9 x 2 y 2 z 2 + z 2

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