Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis.

(3) f(θ, ϕ) = sen(3θ) * cos(2ϕ)

D₂f(θ, ϕ)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação ϕ , como se fossem derivadas ordinárias. Isso quer dizer que vamos variar apenas ϕ e considerar as outras variáveis como constantes na derivação.

A gente sabe que essa derivada é em relação a ϕ por causa da notação D 2 f ( θ ,   ϕ ) , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e também pode ser escrita na forma ∂ ∂ ϕ   f ( θ ,   ϕ ) .

Para a função f θ ,   ϕ = sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ ) , vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia na derivação também. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f θ ,   ϕ = sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ ) em relação a ϕ , considerando θ constante:

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = ∂ ∂ ϕ sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ )

Vamos derivar usando a regra do produto (derivada do primeiro termo vezes o segundo termo, mais derivada do segundo termo vezes o primeiro termo):

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = ∂ ∂ ϕ sin ⁡ 3 θ ∙ cos ⁡ 2 ϕ + ∂ ∂ ϕ cos ⁡ 2 ϕ ∙ sin ⁡ 3 θ

Em ∂ ∂ ϕ sin ⁡ 3 θ , nossa função não depende de ϕ , então a derivada em relação a ele é zero. Já em ∂ ∂ ϕ cos ⁡ 2 ϕ , derivamos usando a Regra da Cadeia (derivando o cosseno aplicado no mesmo argumento, que é 2 ϕ , e multiplicando pela derivada do argumento). Assim, temos:

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = 0 + ( - 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) ) ∙ sin ⁡ 3 θ

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = - 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) sin ⁡ 3 θ

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = - 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) sin ⁡ 3 θ

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