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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR– Cálculo 2 – Lista 2022.2 – Questão 2

Encontre a linearização da função f x , y = e 2 y - x no ponto ( 1,2 )

Passo 1

Oi galera, tudo tranquilo por aí? O problema nos deu essa função aqui

f x , y = e 2 y - x

E pediu para encontrarmos a linearização dessa função!

Você lembra como encontrar?

Dado uma função f ( x , y ) a linearização L ( x , y ) no ponto ( x 0 , y 0 ) vai ser o seguinte:

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

Belezinha até aqui?

Então a ideia aqui é encontrar as derivadas parciais f x ,   f y , aplicar no ponto dado. Depois aplicar todos os resultados na fórmula da linearização (que nada mais é do que a equação do plano tangente à função em um ponto, mas isso é papo para mais tarde!)

E pode ficar tranquilo, viu? Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x , y = e 2 y - x

Vamos começar calculando as parciais e aplicar no ponto ( 1,2 ) dado. Começando com f x :

f x = e 2 y - x . ( - 1 )

E aplicando no ponto

f x 1,2 = - e 2.2 - 1 = - e 3

Tudo bem até aqui?

Agora a parcial em y : f y

f x , y = e 2 y - x

f y = e 2 y - x . ( 2 )

Aplicando no ponto

f y 1,2 = 2 e 2.2 - 1 = 2 e 3

Tranquilo? Show!

Passo 3

A linearização envolve o valor da função no ponto dado

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

É aquele f ( x 0 , y 0 ) , então vamos calcular f ( 1,2 ) :

f x , y = e 2 y - x

f 1,2 = e 2.2 - 1 = e 3

Belezura?

Agora vamos aplicar esses resultados na linearização!

Passo 4

Recordando nossa fórmula para linearização:

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x 0 y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

Queremos a linearização em x 0 , y 0 = ( 1,2 ) :

L x , y = f 1,2 + f x 1,2 x - 1 + f y 1,2 y - 2

Ok? Do passo 2

f x 1,2 = - e 3

f y 1,2 = e 3

E do passo 3

f 1,2 = e 3

Agora é só substituir!

L x , y = e 3 - e 3 x - 1 + 2 e 3 ( y - 2 )

E é isso galera! Temos agora uma fórmula para calcular o valor da função nas proximidades do ponto ( 1,2 ) , esse é o significado da linearização!

Vamos para a próxima?

Resposta

L x , y = e 3 - e 3 x - 1 + 2 e 3 ( y - 2 )

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