7 - A janela de uma casa tem a forma de um retângulo com um triângulo isósceles no topo. Se o perímetro da janela é e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível, mostre que o ângulo da base do triângulo é radianos.

Primeiro vamos montar nossa equação que descreve a área da nossa janela. Essa equação é formada pela área do quadrado e pelo triângulo .

Temos que deixar em função de , então temos que substituir

Mas o que é ?

é o seno de multiplicado pela hipotenusa , correto?

Logo

E o que é ?

Podemos dizer que é igual a dividido por , não é? Então podemos dizer também que

Substituindo em , temos

Lembrando de propriedades trigonométricas, o que é ? , lembra? Então

Logo, essa é a função que temos que maximizar! 😎😎

Mas antes, temos que substituir a equação do perímetro, pois ela que delimita o perímetro que temos

Sabemos que , então

Temos que substituir essa equação em , então vamos isolar em um lado da equação e substituir em

Substituindo em

Para obter os parâmetros em que é o maior possível, temos que encontrar o ponto crítico em que determina o ponto máximo de .

Isso é bem familiar, não é? Como vimos, temos que derivar em relação a e e igualar a . Assim vamos obter um sistema e a solução desse sistema será os valores que vamos verificar.

Entendeu?

Primeiro vamos derivar com relação a .

Sabemos que a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, então

Todas essas derivadas são obtidas pelo método de derivação polinomial. Neste método, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do seu expoente.

Substituindo esses resultados em , temos

Igualando a , obtemos a primeira equação do nosso sistema.

Tranquilo até aqui?

Agora vamos derivar com relação a

Como estamos derivando com relação a , a variável se comporta como uma constante, então onde não temos para derivar, a derivada é pelo mesmo princípio da derivada de uma constante.

Podemos tirar as constantes para fora das derivadas e obter os resultados por meio do teorema fundamental do cálculo.

Substituindo esses resultados em , temos

Com isso, encontramos nossas duas equações.

Vamos solucionar o sistema dado por

Começando pela segunda equação, temos

A primeira opção não pode ser, já que não pode ser uma solução para nosso problema, e não existe. Então obrigatoriamente

Escrevendo como e como , temos

Para a igualdade ser satisfeita, apenas nosso numerador pode ser , então

Calculando o , temos

Esse era o ângulo que buscávamos, não é? 😎

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌