UTFPR– Cálculo 2 – Lista 2022.2 – Questão 5
Próximo a uma bóia, a profundidade de um lago com coordenadas é , onde e são dados em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto em direção à bóia, que está localizada no ponto . A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem? Essa questão nos dá uma função que relaciona a profundidade de um lago com as coordenadas :
Ele também diz que o pescador parte de um determinado ponto, em direção a outro. E pergunta se a água está ficando mais profunda ou mais rasa.
Mas o que isso realmente quer dizer?
Temos uma função que nos diz a profundidade, então se a taxa de variação dessa função é positiva, isso significa que ela está aumentando, certo? Então ali a água estaria ficando mais profunda. Caso contrário, a água ficaria mais rasa.
Então estamos falando de derivada!
Mas como temos uma função de duas variáveis, estamos falando da derivada de uma superfície: precisamos indicar qual a direção que queremos saber a taxa de variação, pois existem infinitas!
Em outras palavras, o problema quer saber na verdade a derivada direcional da profundidade na direção em que o pescador está se deslocando!
Belezinha até aqui? Você lembra como se calcula isso?
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente da função pelo vetor unitário que indica a direção
A ideia aqui é aplicar esses conceitos e verificar o sinal da derivada direcional: se for positivo a profundidade aumenta, se for negativo, diminui.
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa função é a seguinte
Precisamos calcular o gradiente, assim
Beleza?
Passo 3
Agora vamos calcular o vetor unitário na direção do deslocamento!
O pescador parte do ponto em direção à origem , então podemos construir um vetor que dê essa direção.
Tranquilo?
agora precisamos achar a norma desse vetor, já que nosso vetor unitário é
A norma é
Assim nosso vetor unitário é
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Nossa missão agora é reunir todas as informações e calcular a derivada direcional no ponto (que é nosso ponto de partida) na direção do vetor :
Do passo :
Do passo :
Assim a derivada direcional fica:
Beleza?
Nosso ponto de partida é , então
Agora é só calcular o produto escalar:
Encontramos um valor positivo, isso significa que a profundidade está aumentando na direção da bóia.
E é isso pessoal! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?