Próximo a uma bóia, a profundidade de um lago com coordenadas ( x , y ) é z = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3 , onde x , y e z são dados em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto ( 80,60 ) em direção à bóia, que está localizada no ponto ( 0,0 ) . A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão nos dá uma função que relaciona a profundidade ( z ) de um lago com as coordenadas ( x , y ) :

z = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3

Ele também diz que o pescador parte de um determinado ponto, em direção a outro. E pergunta se a água está ficando mais profunda ou mais rasa.

Mas o que isso realmente quer dizer?

Temos uma função que nos diz a profundidade, então se a taxa de variação dessa função é positiva, isso significa que ela está aumentando, certo? Então ali a água estaria ficando mais profunda. Caso contrário, a água ficaria mais rasa.

Então estamos falando de derivada!

Mas como temos uma função de duas variáveis, estamos falando da derivada de uma superfície: precisamos indicar qual a direção que queremos saber a taxa de variação, pois existem infinitas!

Em outras palavras, o problema quer saber na verdade a derivada direcional da profundidade na direção em que o pescador está se deslocando!

Belezinha até aqui? Você lembra como se calcula isso?

A derivada direcional D u f é o produto escalar do gradiente da função pelo vetor unitário que indica a direção

D u f = ∇ → f x , y . u →

A ideia aqui é aplicar esses conceitos e verificar o sinal da derivada direcional: se for positivo a profundidade aumenta, se for negativo, diminui.

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

z = 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3

Precisamos calcular o gradiente, assim

∇ → z = ∂ ∂ x z i ^ + ∂ ∂ y z j ^ =

= ∂ ∂ x 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3 i ^ + ∂ ∂ y 200 + 0,02 x 2 - 0,001 y 3 j ^

= 0,04 x i ^ - 0,003 y 2 j ^

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular o vetor unitário na direção do deslocamento!

O pescador parte do ponto ( 80,60 ) em direção à origem ( 0,0 ) , então podemos construir um vetor que dê essa direção.

v → = P f i n a l - P i n i c i a l = 0,0 - 80,60 = ( - 80 , - 60 )

Tranquilo?

agora precisamos achar a norma v → desse vetor, já que nosso vetor unitário u → é

u → = v → v →

A norma é

v → = v x 2 + v y 2 = - 80 2 + - 60 2

v → = 10000 = 100

Assim nosso vetor unitário é

u → = 1 100 - 80 , - 60 = - 0,8 i ^ - 0,6 j ^

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Nossa missão agora é reunir todas as informações e calcular a derivada direcional no ponto ( 80,60 ) (que é nosso ponto de partida) na direção do vetor u → :

D u z = ∇ → z x , y . u →

Do passo 2 :

∇ → z = 0,04 x i ^ - 0,003 y 2 j ^

Do passo 3 :

u → = - 0,8 i ^ - 0,6 j ^

Assim a derivada direcional fica:

D u z = 0,04 x ; - 0,003 y 2 ⋅ - 0,8 ; - 0,6

Beleza?

Nosso ponto de partida é ( 80,60 ) , então

D u z = 0,04 ( 80 ) ; - 0,003 ( 60 ) 2 ⋅ - 0,8 ; - 0,6

= 3,2 ;   - 10,8 ⋅ ( - 0,8 ; - 0,6 )

Agora é só calcular o produto escalar:

= - 2,56 + 6,48 = 3,92 > 0

Encontramos um valor positivo, isso significa que a profundidade está aumentando na direção da bóia.

E é isso pessoal! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

p r o f u n d i d a d e   e s t á   a u m e n t a n d o

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