Questão 3. calcule o rotacional e divergente dos seguintes campos de vetores.

(a) F(x, y, z) = xyz î - x^2 y k^ ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular o divergente e o rotacional da função vetorial F x , y , z = x y z î - x 2 y k ^ .

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente pode ser obtido como a soma das derivadas parciais das componentes de F .

Dada uma função F = F 1 î + F 2 j ^ + F 3 k ^ , temos que seu divergente é dado por

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Já o rotacional é um pouquinho mais complicado... nele temos que calcular o determinante da matriz dada por

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Ou se preferir, pode usar a resultado mais direto desse determinante

∇ × F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z î + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j ^ + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Vamos começar pelo divergente da nossa função...

Se F x , y , z = x y z î - x 2 y k ^ , então F 1 = x y z , F 2 = 0 e F 3 = - x ² y , portanto

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ · F → = ∂ x y z ∂ x + ∂ 0 ∂ y + ∂ - x 2 y ∂ z

∇ · F → = y z + 0 + 0

∇ · F → = y z

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional de F

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y z 0 - x 2 y

∇ × F → = ∂ - x 2 y ∂ y - ∂ 0 ∂ z î + ∂ x y z ∂ z - ∂ - x 2 y ∂ x j ^ + ∂ 0 ∂ x - ∂ x y z ∂ y k ^

Calculando as derivadas parciais, temos

∇ × F → = - x 2 - 0 î + x y - - 2 x y j ^ + 0 - x z k ^

∇ × F → = - x 2 î + 3 x y j ^ - x z k ^

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∇ · F → = y z

∇ × F → = - x 2 î + 3 x y j ^ - x z k ^

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