Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Ver Teoria
Exercício 121123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 3a

Questão 3. calcule o rotacional e divergente dos seguintes campos de vetores.

(a) F x , y , z = x y z î - x 2 y k ^ ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular o divergente e o rotacional da função vetorial F x , y , z = x y z î - x 2 y k ^ .

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente pode ser obtido como a soma das derivadas parciais das componentes de F .

Dada uma função F = F 1 î + F 2 j ^ + F 3 k ^ , temos que seu divergente é dado por

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Já o rotacional é um pouquinho mais complicado... nele temos que calcular o determinante da matriz dada por

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Ou se preferir, pode usar a resultado mais direto desse determinante

∇ × F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z î + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j ^ + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Vamos começar pelo divergente da nossa função...

Se F x , y , z = x y z î - x 2 y k ^ , então F 1 = x y z , F 2 = 0 e F 3 = - x ² y , portanto

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ · F → = ∂ x y z ∂ x + ∂ 0 ∂ y + ∂ - x 2 y ∂ z

∇ · F → = y z + 0 + 0

∇ · F → = y z

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional de F

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y z 0 - x 2 y

∇ × F → = ∂ - x 2 y ∂ y - ∂ 0 ∂ z î + ∂ x y z ∂ z - ∂ - x 2 y ∂ x j ^ + ∂ 0 ∂ x - ∂ x y z ∂ y k ^

Calculando as derivadas parciais, temos

∇ × F → = - x 2 - 0 î + x y - - 2 x y j ^ + 0 - x z k ^

∇ × F → = - x 2 î + 3 x y j ^ - x z k ^

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∇ · F → = y z

∇ × F → = - x 2 î + 3 x y j ^ - x z k ^

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1