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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 3b

Questão 3. calcule o rotacional e divergente dos seguintes campos de vetores.

(b) F x , y , z = e x sin ⁡ y î + e x cos ⁡ y j ^ + z k ^ ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos calcular o divergente e o rotacional da função vetorial F x , y , z = e x sin ⁡ y î + e x cos ⁡ y j ^ + z k ^ .

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente pode ser obtido como a soma das derivadas parciais das componentes de F .

Dada uma função F = F 1 î + F 2 j ^ + F 3 k ^ , temos que seu divergente é dado por

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Já o rotacional é um pouquinho mais complicado... nele temos que calcular o determinante da matriz dada por

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Ou se preferir, pode usar a resultado mais direto desse determinante

∇ × F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z î + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j ^ + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Vamos começar pelo divergente da nossa função...

Se F x , y , z = e x sin ⁡ y î + e x cos ⁡ y j ^ + z k ^ , então F 1 = e x sin ⁡ y , F 2 = e x cos ⁡ y e F 3 = z , portanto

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ · F → = ∂ e x sin ⁡ y ∂ x + ∂ e x cos ⁡ y ∂ y + ∂ z ∂ z

Calculando as derivadas parciais, temos

∇ · F → = e x sin ⁡ y + - e x sin ⁡ y + 1

∇ · F → = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos partir para o rotacional de F

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z e x sin ⁡ y e x cos ⁡ y z

∇ × F → = ∂ z ∂ y - ∂ e x cos ⁡ y ∂ z î + ∂ e x sin ⁡ y ∂ z - ∂ z ∂ x j ^ + ∂ e x cos ⁡ y ∂ x - ∂ e x sin ⁡ y ∂ y k ^

Calculando as derivadas parciais...

∇ × F → = 0 - 0 î + 0 - 0 j ^ + e x cos ⁡ y - e x cos ⁡ y k ^

∇ × F → = 0 î + 0 j ^ + 0 k ^

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∇ · F → = 1

∇ × F → = 0 î + 0 j ^ + 0 k ^

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