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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 3c

Questão 3. calcule o rotacional e divergente dos seguintes campos de vetores.

(c) F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 î + y x 2 + y 2 + z 2 j ^ + z x 2 + y 2 + z 2 k ^ ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular o divergente e o rotacional da função vetorial F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 î + y x 2 + y 2 + z 2 j ^ + z x 2 + y 2 + z 2 k ^ .

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente pode ser obtido como a soma das derivadas parciais das componentes de F .

Dada uma função F = F 1 î + F 2 j ^ + F 3 k ^ , temos que seu divergente é dado por

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Já o rotacional é um pouquinho mais complicado... nele temos que calcular o determinante da matriz dada por

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Ou se preferir, pode usar a resultado mais direto desse determinante

∇ × F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z î + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j ^ + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Vamos começar pelo divergente da nossa função...

Se F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 î + y x 2 + y 2 + z 2 j ^ + z x 2 + y 2 + z 2 k ^ , então F 1 = x x 2 + y 2 + z 2 , F 2 = y x 2 + y 2 + z 2 e F 3 = z x 2 + y 2 + z 2 , portanto

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ��� F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ · F → = ∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ x + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ y + ∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Todas as derivadas parciais são obtidas pela regra do quociente, ou seja

f = g h → f ' = g ' h - g h ' h 2

∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ x = ∂ x ∂ x · x 2 + y 2 + z 2 - x · ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 - x 2 x x 2 + y 2 + z 2 2

∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

A derivada do segundo termo é dada por

∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = ∂ y ∂ y · x 2 + y 2 + z 2 - y · ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 - y 2 y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 - y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

E finalmente

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = ∂ z ∂ z · x 2 + y 2 + z 2 - z · ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 + y 2 + z 2 - z 2 z x 2 + y 2 + z 2 2

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

Substituindo os resultados no divergente, vamos obter

�� · F → = - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 + x 2 - y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 + x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∇ · F → = - x 2 + y 2 + z 2 + x 2 - y 2 + z 2 + x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∇ · F → = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∇ · F → = 1 x 2 + y 2 + z 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional de F

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 y x 2 + y 2 + z 2 z x 2 + y 2 + z 2

∇ × F → = ∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ y - ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ z î + ∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ z - ∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ x j ^ + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ x - ∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ y k ^

Aplicando a regra da cadeia nas derivadas, temos

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = z ∂ 1 x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = z ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y ∂ 1 u ∂ u

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = z 2 y - 1 u 2

Voltando u para x 2 + y 2 + z 2 e simplificando nosso resultado...

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 2

Como temos muitas derivadas para fazer, vamos encontrar alguma simetria nessas derivadas...

A variável no numerador nunca é a variável de derivação, então o método de derivação é sempre o mesmo.

Na derivada anterior, elevamos o denominador ao quadrado, invertemos o sinal da fração e multiplicamos o numerador por duas vezes a variável de derivação. Então vamos fazer isso com todos! 😉

Passo 4

A próxima derivada é ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ z ... seguindo os passos que vimos anteriormente, chegamos em

∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 2

Seguindo as derivadas do problema...

∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 2

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ x = - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 2

∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ x = - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

Substituindo no rotacional de F

∇ × F → = ∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ y - ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ z î + ∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ z - ∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ x j ^ + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ x - ∂ x x 2 + y 2 + z 2 ∂ y k ^

∇ × F → = - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 2 - - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 2 î + - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 2 - - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 2 j ^ + - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2 - - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2 k ^

Perceba que os resultados em cada componente se cancelam, ou seja

∇ × F → = 0 î + 0 j ^ + 0 k ^

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∇ · F → = 1 x 2 + y 2 + z 2

∇ × F → = 0 î + 0 j ^ + 0 k ^

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