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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 3d

Questão 3. calcule o rotacional e divergente dos seguintes campos de vetores.

(d) F x , y , z = ln ⁡ x , ln ⁡ x y , ln ⁡ x y z ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular o divergente e o rotacional da função vetorial F x , y , z = ln ⁡ x , ln ⁡ x y , ln ⁡ x y z .

Lembra como fazemos isso? 🤔

O divergente pode ser obtido como a soma das derivadas parciais das componentes de F .

Dada uma função F = F 1 î + F 2 j ^ + F 3 k ^ , temos que seu divergente é dado por

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Já o rotacional é um pouquinho mais complicado... nele temos que calcular o determinante da matriz dada por

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

Ou se preferir, pode usar a resultado mais direto desse determinante

∇ × F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z î + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j ^ + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

Vamos começar pelo divergente da nossa função...

Se F x , y , z = ln ⁡ x , ln ⁡ x y , ln ⁡ x y z , então F 1 = ln ⁡ x , F 2 = ln ⁡ x y e F 3 = ln ⁡ x y z , portanto

∇ · F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ · F → = ∂ ln ⁡ x ∂ x + ∂ ln ⁡ x y ∂ y + ∂ ln ⁡ x y z ∂ z

Pela regra da cadeia e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ ln ⁡ x ∂ x = 1 x

∂ ln ⁡ x y ∂ y = ∂ x y ∂ y ∂ ln ⁡ u ∂ u = x 1 x y = 1 y

∂ ln ⁡ x y z ∂ z = ∂ x y z ∂ z ∂ ln ⁡ v ∂ v = x y 1 x y z = 1 z

Substituindo no divergente...

∇ · F → = 1 x + 1 y + 1 z

∇ · F → = x y + y z + x z x y z

Tudo certo até aqui? 🤔

Passo 3

Calculando o rotacional de F , temos

∇ × F → = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = î j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ln ⁡ x ln ⁡ x y ln ⁡ x y z

∇ × F → = ∂ ln ⁡ x y z ∂ y - ∂ ln ⁡ x y ∂ z î + ∂ ln ⁡ x ∂ z - ∂ ln ⁡ x y z ∂ x j ^ + ∂ ln ⁡ x y ∂ x - ∂ ln ⁡ x ∂ y k ^

Pelos mesmos métodos de derivação, vamos obter

∇ × F → = 1 y - 0 î + 0 - 1 x j ^ + 1 x - 0 k ^

∇ × F → = 1 y î - 1 x j ^ + 1 x k ^

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∇ · F → = x y + y z + x z x y z

∇ × F → = 1 y î - 1 x j ^ + 1 x k ^

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