UTFPR. Cálculo Diferencial e Integral 2. Prova AV2. 2022.1. Questão 1
Questão 1 – Utilize as equações e para determinar e na equação
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Para essa questão, temos uma equação dada por e queremos obter as derivadas parciais de com relação a e de com relação a .
Porém, quando analisamos a equação, não podemos obter a derivada de forma natural pois não podemos isolar em um lado da equação.
E agora? O que vamos fazer?? 🤔🤔
Nesses casos, quando a variável não pode ser isolada, usamos o método de derivada implícita.
Assim como descrito no enunciado a derivada de com relação a é dada implicitamente como e da mesma forma de com relação a é dado como
Entendeu? Bora ver como é na prática! 😁
Passo 2
Primeiro de tudo, temos que colocar todas as variáveis de um lado só da igualdade
Passando o e o para a direita, temos
Primeiro vamos derivar com relação a
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então
Em e em não aparecem , então para elas são constantes, logo suas derivadas são .
Já para a derivada de , aplicamos o método de derivação polinomial
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora derivamos com relação a
Seguindo a mesma lógica anterior, vemos que a derivada de com relação a é , a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial e a derivada de é obtida pela regra da cadeia substituindo por na derivada de fora.
Bora ver!
Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada de é igual a , logo
Simplificando e substituindo por de volta
Interessante, não é? 😉
Passo 4
Substituindo os resultados na formula da derivada implícita, temos
Simplificando o sinal da fração, temos
Vamos colocar sob o mesmo denominador, pra isso multiplicamos por e dividimos por , ou seja
Juntando as frações do denominador
Por fim, simplificamos a fração multiplicando os meios pelos extremos
Portanto essa é a derivada implícita de com relação a .
Entendeu essa parte? 😁
Passo 5
Agora vamos derivar implicitamente com relação a , aplicando
Derivando a equação com relação a , temos
Agora as derivadas de e são iguais a e a derivada de é obtida pela regra da cadeia assim como na derivada de .
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial e de já calculamos anteriormente, então podemos copiar o resultado
Simplificando, temos
Está acompanhando? Estamos chegando no fim! 👀
Passo 6
Já calculamos anteriormente então já temos todos os valores para a fórmula da derivada implícita.
Deixando sob o mesmo denominador assim como fizemos no passo 4.
Simplificando o denominador, temos
Dessa forma, podemos simplificar os denominadores da fração cortando de cima e de baixo resultando em
Assim encontramos a derivada implícita de com relação a !
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
