Seja f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. Calcule ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y ( 0,0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função de duas variáveis definida por partes

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E pediu para calcular as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y em ( 0,0 )

e agora?

Para que uma parcial exista precisamos calcular ela onde ela ‘quebra’, ou seja, em zero! E pra isso precisamos usar a definição por limites

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite em x

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0

A função é

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

Então

f 0,0 = 0

f x , 0 = x 3 x 2 + 0 = x

Aí o limite

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ x - 0 x - 0 = 1

Beleza?

Passo 3

Agora pra y

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0

Substituindo temos

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ 0 0 + y 2 - 0 y - 0 = 0

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ y = 0

∂ f ∂ x = 1

Exercícios de Livros Relacionados