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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 1a

Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

  1. Calcule f x ( x , y ) e f y ( x , y ) para x , y ≠ 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função de duas variáveis

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

f x e f y quando f x , y ≠ 0 . Mas como fazer isso?

Quando não temos nenhuma indeterminação (quando x , y ≠ 0 por exemplo) podemos usar as regras de derivação usuais para achar as parciais

Mas lembrem-se: quando fazemos a derivada parcial em relação à x , consideramos y como constante. E quando derivamos em relação à y , o x é constante!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Começando por calcular f x :

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2

Usando a regra do produto, considerando y constante:

f x = 2 x . s e n 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 . cos ⁡ 1 x 2 + y 2 . 1 x 2 + y 2 '

Lembrando que a derivada é em relação a x , agora é só completar com a derivada do argumento do seno (ali usamos a regra da cadeia)

f x = 2 x   s e n 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Por fim, vamos calcular f y :

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2

f y = 2 y . s e n 1 x 2 + y 2 + x 2 + y 2 . cos ⁡ 1 x 2 + y 2 . 1 x 2 + y 2 '

E fazendo novamente a derivada do argumento do cosseno (em relação à y ):

f y = 2 y   s e n 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Belezinha? É isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f x = 2 x   s e n 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

f y = 2 y   s e n 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

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