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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 1b

Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

  1. Calcule f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função de duas variáveis

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

f x e f y quando f x , y = 0 . Mas como fazer isso?

Quando temos uma indeterminação (em x = y = 0 , temos uma divisão por zero), precisamos calcular a derivada parcial através da definição pelo limite:

f x x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h , y 0 - f ( x 0 , y 0 ) h

f y x 0 , y 0 = lim k → 0 ⁡ f x 0 , y 0 + k - f ( x 0 , y 0 ) k

Tranquilo?

A ideia aqui é aplicar essas definições de limite para a função dada!

Partiu começar?

Passo 2

Começando por f x com x 0 , y 0 = ( 0,0 )

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f ( 0,0 ) h

Sabendo que f 0,0 = 0 quando x , y ≠ 0 , e que f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 , então

f h , 0 = h 2 s e n 1 h 2

Aí nosso limite fica

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ h 2 s e n 1 h 2 h = lim h → 0 ⁡ h   s e n 1 h 2 ⏝ l i m i t a d a

Aí temos o produto de uma função limitada por um termo que vai a zero, então f x = 0

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora temos que calcular f y com x 0 , y 0 = ( 0,0 )

f y 0,0 = lim k → 0 ⁡ f 0,0 + k - f ( 0,0 ) k

Sabendo que f 0,0 = 0 quando x , y ≠ 0 , e que f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 , então

f 0 , k = k 2 s e n 1 k 2

Aí nosso limite fica

f y 0,0 = lim k → 0 ⁡ k 2 s e n 1 k 2 k = lim k → 0 ⁡ k   s e n 1 k 2 ⏝ l i m i t a d a

Aí temos o produto de uma função limitada por um termo que vai a zero, então também f y = 0

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

f x ( 0,0 ) = f y ( 0,0 ) = 0

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