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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.15b

Seja f x ,   y = x x 2 + y 2 .

b) Determine, se existirem, ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0 ,   0 e ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se as derivadas de segunda ordem da função f x ,   y = x x 2 + y 2 existem no ponto x ,   y = ( 0 ,   0 ) .

Então, vamos derivar a função parcialmente em relação a cada variável e verificar se a função resultante está definida para esse ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x ,   y = x x 2 + y 2 em relação a y :

∂ f ∂ y = x y x 2 + y 2

Agora derivando em relação a x , temos:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x x y x 2 + y 2

Usando a regra do quociente:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = y 3 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

Repare que a função não está definida para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , porque isso geraria uma indeterminação, então ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 0 ,   0 ) não existe.

Passo 3

Pra calcular ∂ 2 f ∂ y ∂ x vamos fazer parecido com o passo 2 , mas agora vamos começar derivando em relação a x (aplicando a regra do produto):

∂ ∂ x x x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Agora derivando em relação a y , vamos ter:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = y 3 ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

Que foi o mesmo resultado obtido no passo anterior, onde nós vimos que a função derivadas não está definida para ( 0 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0 ,   0 = ∂ 2 f ∂ y ∂ x 0 ,   0   n ã o   e x i s t e m

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