UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2015.1, Questão 2b
Seja onde é uma função diferenciável. Determine h’(t) em função das derivadas parciais de f. Sabendo que encontre .
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede para calcular a derivada da função h em função das derivadas parciais de f. Primeiro, vamos definir as variáveis
Assim podemos escrever h(t) como . Então, podemos obter a derivada de h em relação à t utilizando a regra da cadeia, calculando primeiro como f varia com x e depois como x varia com t e como f varia com y e depois y como y varia com t. Assim, obtemos que a derivada de h em relação à t pode ser escrita como
Então, para achar a derivada de h(t), precisamos derivar x e y em relação à t. Então vamos lá!
Passo 2
Como a função x(t) é simplesmente uma exponencial de t, temos pela regra da cadeia que sua derivada é dada simplesmente por
Para y(t), temos que sua derivada é simplesmente a derivada de cosseno, que vem a ser
Então, substituindo esses resultados na expressão para a derivada de h(t), temos que h’(t) em função das derivadas parciais de f pode ser escrita como
Agora, nós só precisamos determinar o valor de h’(t) quando , sabendo que a derivada parcial de f em relação à x quando é . Isso é simples, só precisamos substituir essas informações na equação acima! Então vamos lá!
Passo 3
Como , temos que a derivada parcial de f em relação a y não irá contribuir para h’(t) em . Então, substituindo os valores dado pela questão na expressão que obtivemos para h’(t), temos que