Seja h(t) = f(e^(2t), cos(t)) onde f: R² → R é uma função diferenciável. Determine h’(t) em função das derivadas parciais de f. Sabendo que ∂ / ∂x f(e^(2π), -1) = 1 / (2π) encontre h'(pi) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da função h em função das derivadas parciais de f. Primeiro, vamos definir as variáveis

x ( t )   =   e 2 t ,     y ( t ) = c o s   t

Assim podemos escrever h(t) como h ( t )   =   f ( x ( t ) ,   y ( t ) ) . Então, podemos obter a derivada de h em relação à t utilizando a regra da cadeia, calculando primeiro como f varia com x e depois como x varia com t e como f varia com y e depois y como y varia com t. Assim, obtemos que a derivada de h em relação à t pode ser escrita como

d d t h ( t ) = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f d y d y d t

Então, para achar a derivada de h(t), precisamos derivar x e y em relação à t. Então vamos lá!

Passo 2

Como a função x(t) é simplesmente uma exponencial de t, temos pela regra da cadeia que sua derivada é dada simplesmente por

x ' ( t ) = d d t e 2 t = 2 × e 2 t

Para y(t), temos que sua derivada é simplesmente a derivada de cosseno, que vem a ser

y ' ( t ) =   d d t c o s   t   =   -   s e n   t

Então, substituindo esses resultados na expressão para a derivada de h(t), temos que h’(t) em função das derivadas parciais de f pode ser escrita como

h ' ( t ) = 2 e 2 t ∂ f ∂ x - s e n   t   ∂ f ∂ y

Agora, nós só precisamos determinar o valor de h’(t) quando t = π , sabendo que a derivada parcial de f em relação à x quando t = π é ∂ ∂ x f e 2 π ,   - 1 =   1 2 π . Isso é simples, só precisamos substituir essas informações na equação acima! Então vamos lá!

Passo 3

Como s e n ( π ) = 0 , temos que a derivada parcial de f em relação a y não irá contribuir para h’(t) em t = π . Então, substituindo os valores dado pela questão na expressão que obtivemos para h’(t), temos que

h ' ( π ) = 2 e 2 π ∂ f ∂ x ( e 2 π ,   - 1 ) = 2 e 2 π × 1 2 π = e 2 π π

Resposta

h ' ( t ) = 2 e 2 t ∂ f ∂ x - s e n   t   ∂ f ∂ y

h ' ( π ) = e 2 π π

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