UFCG-Cálculo 3-AV1-2022.1
Sejam e um vetor unitário
- Mostre que é continua a pesar de não ser diferenciável.
- As derivadas parciais de são contínuas na origem.
Passo 1
Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?
Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha em função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de limites e continuidades.
Esse tipo de questão é muito comum de cair em prova de cálculo.
Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. O primeiro conceito é que para que as derivadas parciais sejam contínuas temos que:
A outra é que precisamos calcular as derivadas mirabolantes para mostrar isso.
Mas e aí podemos ir? Colocando a mão na massa as coisas ficam mais concretas.
Sacou né? Então já podemos colocar a mão na massa.
Passo 2
Vamos realizar as seguintes operações, para fazer as contas vamos precisar de dois detalhes.
O primeiro é que quando eu derivo em relação a x, o y se torna constante e vice versa.
O segundo detalhe é que vou precisar da regra do quociente, portanto:
Realizando as operações matemáticas temos que:
E podemos ver que existe uma descontinuidade em pois as derivadas nesse ponto geram uma indeterminação do tipo .
Sendo assim, as derivadas não são contínuas e como consequência disso a função não é diferençável.
Passo 3
Resposta
Não é diferenciável.