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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 1ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 4b

Suponha que a função diferenciável f ( x , y ) satisfaça f 3 t , t 3 = arctan ⁡ t ,   para todo t ∈ R .

b ) Calcule ∂ f ∂ x ( 3,1 ) sabendo que ∂ f ∂ y 3,1 = 2 .

Passo 1

E aí genteee, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma função f que é dita diferenciável, sobre ela também é dito que:

f 3 t , t 3 = arctan ⁡ t

E também que:

∂ f 3,1 ∂ y = 2

Sabendo disso, precisamos calcular ∂ f ∂ x 3,1 .

Alguma ideia de como podemos fazer isso?

Então galera, a ideia principal aqui é lembrarmos como usamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis. Basicamente, temos que:

∂ f ∂ t x 0 , y 0 = ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Massa! Vamos então buscar aplicar essa expressão com as informações que temos!

Passo 2

Queremos calcular:

∂ f ∂ x 3,1

Para que esse termo apareça na expressão da regra da cadeia que vimos no passo anterior, precisamos fazer x 0 , y 0 = ( 3,1 ) . Isso, consequentemente, nos dá t = 1 .

Show, então vamos lá!

∂ f ∂ t 3 , 1 = ∂ f 3 , 1 ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f 3 , 1 ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

O enunciado nos falou que:

∂ f 3 , 1 ∂ y

Assim:

∂ f ∂ t 3 , 1 = ∂ f 3 , 1 ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + 2 ⋅ ∂ y ∂ t

Além disso, temos que x e y dependem de t da seguinte forma:

x = 3 t y = t 3

Logo:

∂ x ∂ t = 3

∂ y ∂ t = 3 t 2

Substituindo, ficamos com:

∂ f ∂ t 3 , 1 = ∂ f 3 , 1 ∂ x ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 t 2

Mas, também sabemos que para ( 3,1 ) a expressão de f pode ser dada por:

f t = arctan ⁡ t

Assim:

∂ f ∂ t = 1 1 + t 2

Substituindo, ficamos com:

1 1 + t 2 = ∂ f 3 , 1 ∂ x ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 t 2

Massa! Estamos quase lá!

Como para x , y = ( 3,1 ) , temos t = 1 , vem que:

1 1 + 1 2 = ∂ f 3 , 1 ∂ x ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 1 2

∴ 1 2 = ∂ f 3 , 1 ∂ x ⋅ 3 + 6

⇒ ∂ f 3 , 1 ∂ x = 1 2 - 6 3

=   - 11 2 ⋅ 3

Portanto:

∂ f 3,1 ∂ x = - 11 6

E é isso aí!!!! Finalizamos mais uma questãooo!

Agora é tomar uma água, dar uma respirada, e voltar com tudo 😊

Valeu pessoal!!

Resposta

- 11 6

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