17] A temperatura em qualquer ponto P = x , y de uma placa é T graus, e

T x , y = 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2

Se a distância for medida em polegadas, encontre no ponto Q = 3,1 a taxa de variação da temperatura em relação à distância na placa na direção do eixo x positivo e na direção do eixo y positivo.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma placa cuja temperatura é dada pela função T x , y = 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2

E nosso objetivo é obter a variação de temperatura no ponto Q = 3,1 com relação ao eixo x e ao eixo y .

Parece simples? 🤔

O que nos dá a ideia de variação em uma função? 😐

Sua derivada, não é?

Portanto o que precisamos fazer é obter as derivadas parciais de T em relação a x e a y e aplicar o ponto Q a elas para obter as variações que estamos interessados.

Tudo certo? 😉

Passo 2

Primeiro vamos derivar T parcialmente em x , ou seja

∂ x T = ∂ 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2 ∂ x

Aplicando o método de derivação polinomial...

∂ x T = - 3 x

Agora vamos derivar T em y pelo mesmo método

∂ y T = ∂ 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2 ∂ y

∂ y T = - 8 y

Por fim, vamos substituir o ponto Q nos resultados obtidos

∂ x T 3,1 = - 3 3 = - 9   ° C

∂ y T 3,1 = - 8 1 = - 8   ° C

Portanto, a variação de temperatura em x e em y respectivamente é dada por - 9   ° C e - 8 ° C no ponto Q .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ x T 3,1 = - 9   ° C

∂ y T 3,1 = - 8   ° C

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