UTFPR– Cálculo 2 – Lista 2022.2 – Questão 4
Use diferenciais para aproximar o número
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou decifrar ela para você! Usando diferenciais, o problema pediu para calcularmos o valor de
Ué, mas como assim diferenciais?
Você percebe que temos uns valores estranhos? Quebrados? E que são próximos de valores inteiros?
Isso significa que podemos associar a esse valor uma função e usando a técnica de Linearização, podemos encontrar o valor dessa função nesse ponto estranho! Ué, mas como?
Dado uma função , a linearização no ponto vai ser o seguinte:
Belezinha até aqui? Temos que é o tal ponto “comportado”, e é o ponto estranho que queremos descobrir o valor. A primeira aproximação que podemos fazer é a linear: aproximando uma função bem parecida por uma soma de seu valor no ponto “bonito” mais seus diferenciais, podemos encontrar uma boa aproximação.
Mas que pontos são esses? Quem é na expressão que o enunciado nos dá?
Precisamos calcular esse valor aqui:
Então podemos escrever nossa função, associando os 3 valores a :
Então nosso ponto “estranho” vai ser
E nosso ponto “bonito” vão ser os valores inteiros mais próximos, que comentamos ali em cima:
Ufa!
Então a ideia aqui é encontrar as derivadas parciais e aplicar no ponto “bonito”. Depois aplicar todos os resultados na fórmula da linearização (que nada mais é do que a equação do plano tangente à função em um ponto, mas isso é papo para mais tarde!)
E por fim, calcular a linearização no ponto “estranho”
E pode ficar tranquilo, viu? Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar calculando as parciais e aplicar no ponto próximo. Começando com :
E aplicando no ponto
Tudo bem até aqui?
Agora a parcial em :
Aplicando no ponto
Tranquilo? Por fim :
E aplicando no ponto
tudo certinho até aqui?
Passo 3
A linearização envolve o valor da função no ponto dado
É aquele , que no nosso caso é o ponto inteiro mais próximo ao valor que queremos calcular, então vamos calcular :
Belezura?
Agora vamos aplicar esses resultados na linearização!
Passo 4
Recordando nossa fórmula para linearização:
Queremos a linearização em :
Ok? Do passo
E do passo
Agora é só substituir!
E é isso galera! Temos agora uma fórmula para calcular o valor da função nas proximidades do ponto , esse é o significado da linearização!
Passo 5
Queremos calcular no ponto “estranho”
Esse é nosso ! Agora que temos uma boa aproximação, vamos substituir!
Resolvendo essas continhas temos
E tá aí o valor de usando diferenciais!
Beleza? Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?