Use a Regra da Cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t .

a) z = x^2 + y^2, x = 2s + 3t, y = s + t

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para encontrarmos ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t , temos que utilizar a Regra da Cadeia do Seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ t

Agora precisamos determinar cada derivada parcial e substituir logo em seguida!!

E aí, bora lá?

Passo 2

Dessa forma, as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s são:

∂ z ∂ x = 2 x

∂ x ∂ s = 2

∂ z ∂ y = 2 y

∂ y ∂ s = 1

Por outro lado, as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ t são:

∂ z ∂ x = 2 x

∂ x ∂ t = 3

∂ z ∂ y = 2 y

∂ y ∂ t = 1

Passo 3

Agora vamos substituir na regra da cadeia, começando por ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ s ∴

∂ z ∂ s = 2 x ∙ 2 + 2 y ∙ 1 ∴

∂ z ∂ s = 4 x + 2 y

Por fim, para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∙ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∙ ∂ y ∂ t ∴

∂ z ∂ t = 2 x ∙ 3 + 2 y ∙ 1 ∴

∂ z ∂ t = 6 x + 2 y

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ z ∂ s = 4 x + 2 y

∂ z ∂ t = 6 x + 2 y

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