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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - UERJ - Lista 3, Questão 5a

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

a)

z = x 4 + x 2 y , �� x = s + 2 t - u ,   y = s t u 2

∂ z ∂ s ,   ∂ z ∂ t ,   ∂ z ∂ u quando s = 4 ,   t = 2 ,   u = 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que determinemos as seguintes derivadas parciais utilizando a regra da cadeia:

∂ z ∂ s ,   ∂ z ∂ t ,   ∂ z ∂ u

Quando s = 4 ,   t = 2 ,   u = 1 .

Nisso, sabemos que nossa função é dada por:

z = x 4 + x 2 y ,   x = s + 2 t - u ,   y = s t u 2

Nesse sentido, devemos aplicar a regra da cadeia para cada uma das derivadas parciais mostradas ali em cima.

Para ficar melhor, em cada passo abaixo a gente vai fazer para uma derivada parcial!!

Bora junto!!

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ z ∂ s , temos:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x   ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y   ∂ y ∂ s ∴

∂ z ∂ s = x 3 + 2 x y + x 2 t u 2

Substituindo os valores de s ,   t , u que foram dados, temos:

x = 4 + 2 * 2 - 1 ∴

x = 7

E

y = 4 * 2 * 1 2 ∴

y = 8

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ z ∂ s = 7 3 + 2 * 7 * 8 + 7 2 * 2 * 1 ∴

∂ z ∂ s = 1582

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ z ∂ t , temos:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x   ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y   ∂ y ∂ t ∴

∂ z ∂ t = x 3 + 2 x y * 2 + x 2 s u 2

Substituindo os valores de s ,   t , u que foram dados, temos:

x = 4 + 2 * 2 - 1 ∴

x = 7

E

y = 4 * 2 * 1 2 ∴

y = 8

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ z ∂ t = 7 3 + 2 * 7 * 8 + 7 2 * 4 * 1 ∴

∂ z ∂ t = 3164

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ z ∂ t , temos:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x   ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y   ∂ y ∂ u ∴

∂ z ∂ u = x 3 + 2 x y * - 1 + x 2 * 2 s t u

Substituindo os valores de s ,   t , u que foram dados, temos:

x = 4 + 2 * 2 - 1 ∴

x = 7

E

y = 4 * 2 * 1 2 ∴

y = 8

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ z ∂ u = - 7 3 + 2 * 7 * 8 + 7 2 * 2 * 4 * 2 * 1 ∴

∂ z ∂ u = - 700

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ z ∂ s = 1582

∂ z ∂ t = 3164

∂ z ∂ u = - 700

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