Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Ver Teoria
Exercício 184123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - UERJ - Lista 3, Questão 5c

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

c)

N = p + q p + r ,   p = u + v w ,   q = v + u w ,   r = w + u v

∂ N ∂ u ,   ∂ N ∂ v , ∂ N ∂ w quando u = 2 , v = 3 ,   w = 4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que determinemos as seguintes derivadas parciais utilizando a regra da cadeia:

∂ N ∂ u ,   ∂ N ∂ v , ∂ N ∂ w

Quando u = 2 , v = 3 ,   w = 4 .

Nisso, sabemos que nossa função é dada por:

N = p + q p + r ,   p = u + v w ,   q = v + u w ,   r = w + u v

Nesse sentido, devemos aplicar a regra da cadeia para cada uma das derivadas parciais mostradas ali em cima.

Para ficar melhor, em cada passo abaixo a gente vai fazer para uma derivada parcial!!

Bora junto!!

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ N ∂ u , temos:

∂ N ∂ u = ∂ N ∂ p   ∂ p ∂ u + ∂ N ∂ q   ∂ q ∂ u + ∂ N ∂ r   ∂ r ∂ u ∴

∂ N ∂ u = r - q p + r 2 1 + 1 p + r 4 + - p + q p + r 2 3

Substituindo os valores de p , q , r que foram dados, temos:

p = 2 + 12 ∴

p = 14

q = 3 + 8

q = 11

r = 4 + 6 ∴

r = 10

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ N ∂ u = 10 - 11 1 4 + 10 2 1 + 1 1 4 + 10 4 + - 11 + 11 1 4 + 10 2 3 ∴

∂ N ∂ u = 5 144

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ N ∂ v , temos:

∂ N ∂ v = ∂ N ∂ p   ∂ p ∂ v + ∂ N ∂ q   ∂ q ∂ v + ∂ N ∂ r   ∂ r ∂ v ∴

∂ N ∂ v = r - q p + r 2 4 + 1 p + r 1 + - p + q p + r 2 2

Substituindo os valores de p , q , r que foram dados, temos:

p = 2 + 12 ∴

p = 14

q = 3 + 8

q = 11

r = 4 + 6 ∴

r = 10

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ N ∂ v = 10 - 11 14 + 10 2 4 + 1 14 + 10 1 + - 14 + 11 14 + 11 2 2

∂ N ∂ v = - 5 96

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ N ∂ w , temos:

∂ N ∂ w = ∂ N ∂ p   ∂ p ∂ w + ∂ N ∂ q   ∂ q ∂ w + ∂ N ∂ r   ∂ r ∂ w ∴

∂ N ∂ w = r - q p + r 2 3 + 1 p + r 2 + - p + q p + r 2 1

Substituindo os valores de p , q , r que foram dados, temos:

p = 2 + 12 ∴

p = 14

q = 3 + 8

q = 11

r = 4 + 6 ∴

r = 10

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ N ∂ w = 10 - 11 14 + 10 2 3 + 1 14 + 10 2 + - 14 + 11 14 + 11 2 2

∂ N ∂ w = 5 144

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ N ∂ u = 5 144

∂ w ∂ θ = - 2 π

∂ N ∂ w = 5 144

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1