Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

c)

N = (p + q) / (p + r), p = u + v + w, q = v + u + w, r = w + u + v

∂N/∂u, ∂N/∂v, ∂N/∂w quando u = 2, v = 3, w = 4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que determinemos as seguintes derivadas parciais utilizando a regra da cadeia:

∂ N ∂ u ,   ∂ N ∂ v , ∂ N ∂ w

Quando u = 2 , v = 3 ,   w = 4 .

Nisso, sabemos que nossa função é dada por:

N = p + q p + r ,   p = u + v w ,   q = v + u w ,   r = w + u v

Nesse sentido, devemos aplicar a regra da cadeia para cada uma das derivadas parciais mostradas ali em cima.

Para ficar melhor, em cada passo abaixo a gente vai fazer para uma derivada parcial!!

Bora junto!!

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ N ∂ u , temos:

∂ N ∂ u = ∂ N ∂ p   ∂ p ∂ u + ∂ N ∂ q   ∂ q ∂ u + ∂ N ∂ r   ∂ r ∂ u ∴

∂ N ∂ u = r - q p + r 2 1 + 1 p + r 4 + - p + q p + r 2 3

Substituindo os valores de p , q , r que foram dados, temos:

p = 2 + 12 ∴

p = 14

q = 3 + 8

q = 11

r = 4 + 6 ∴

r = 10

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ N ∂ u = 10 - 11 1 4 + 10 2 1 + 1 1 4 + 10 4 + - 11 + 11 1 4 + 10 2 3 ∴

∂ N ∂ u = 5 144

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ N ∂ v , temos:

∂ N ∂ v = ∂ N ∂ p   ∂ p ∂ v + ∂ N ∂ q   ∂ q ∂ v + ∂ N ∂ r   ∂ r ∂ v ∴

∂ N ∂ v = r - q p + r 2 4 + 1 p + r 1 + - p + q p + r 2 2

Substituindo os valores de p , q , r que foram dados, temos:

p = 2 + 12 ∴

p = 14

q = 3 + 8

q = 11

r = 4 + 6 ∴

r = 10

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ N ∂ v = 10 - 11 14 + 10 2 4 + 1 14 + 10 1 + - 14 + 11 14 + 11 2 2

∂ N ∂ v = - 5 96

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ N ∂ w , temos:

∂ N ∂ w = ∂ N ∂ p   ∂ p ∂ w + ∂ N ∂ q   ∂ q ∂ w + ∂ N ∂ r   ∂ r ∂ w ∴

∂ N ∂ w = r - q p + r 2 3 + 1 p + r 2 + - p + q p + r 2 1

Substituindo os valores de p , q , r que foram dados, temos:

p = 2 + 12 ∴

p = 14

q = 3 + 8

q = 11

r = 4 + 6 ∴

r = 10

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ N ∂ w = 10 - 11 14 + 10 2 3 + 1 14 + 10 2 + - 14 + 11 14 + 11 2 2

∂ N ∂ w = 5 144

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ N ∂ u = 5 144

∂ w ∂ θ = - 2 π

∂ N ∂ w = 5 144

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