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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - UERJ - Lista 3, Questão 5b

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

b)

w = x y + y z + z x ,   x = r cos ⁡ θ ,   y = r sin ⁡ θ ,   z = r θ

∂ w ∂ r ,   ∂ w ∂ θ quando r = 2 , θ = π 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que determinemos as seguintes derivadas parciais utilizando a regra da cadeia:

∂ w ∂ r ,   ∂ w ∂ θ

Quando r = 2 , θ = π 2 .

Nisso, sabemos que nossa função é dada por:

w = x y + y z + z x ,   x = r cos ⁡ θ ,   y = r sin ⁡ θ ,   z = r θ

Nesse sentido, devemos aplicar a regra da cadeia para cada uma das derivadas parciais mostradas ali em cima.

Para ficar melhor, em cada passo abaixo a gente vai fazer para uma derivada parcial!!

Bora junto!!

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ w ∂ r , temos:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x   �� x ∂ r + ∂ w ∂ y   ∂ y ∂ r + ∂ w ∂ z   �� z ∂ r ∴

∂ w ∂ r = y + x cos ⁡ θ + x + z sin ⁡ θ + x + y θ

Substituindo os valores de r , θ que foram dados, temos:

x = 2 cos ⁡ π 2 ∴

x = 0

y = 2 sin ⁡ π 2 ∴

y = 2

z = 2 * π 2 ∴

z = π

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ w ∂ r = 2 + 0 cos ⁡ π 2 + 0 + π sin ⁡ π 2 + 0 + 2 π 2 ∴

∂ w ∂ r = 2 π

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia para ∂ w ∂ θ , temos:

∂ w ∂ θ = ∂ w ∂ x   ∂ x ∂ θ + ∂ w ∂ y   ∂ y ∂ θ + ∂ w ∂ z   ∂ z ∂ θ ∴

∂ w ∂ θ = y + x - r sin ⁡ θ + x + z r cos ⁡ θ + x + y r

Substituindo os valores de r , θ que foram dados, temos:

x = 2 cos ⁡ π 2 ∴

x = 0

y = 2 sin ⁡ π 2 ∴

y = 2

z = 2 * π 2 ∴

z = π

Logo, substituindo na nossa derivada parcial, temos:

∂ w ∂ θ = 2 + 0 - 2 sin ⁡ π 2 + 0 + π 2 cos ⁡ π 2 + 0 + 2 2 ∴

∂ w ∂ θ = - 2 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ w ∂ r = 2 π

∂ w ∂ θ = - 2 π

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