USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 38b
(b) Verifique que satisfaz a equação de Laplace
sendo . (Uma função que satisfaz a equação de Laplace é chamada harmônica.)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função satisfaz a equação de Laplace. Como o operador de Laplace é dado por , nós vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais da função e verificar se o resultado da soma delas é igual a zero.
Ou seja, vamos calcular:
E depois verificar se .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando nossa função parcialmente em relação a . A gente só não pode esquecer que temos uma função polinomial () dentro de uma função logarítmica, então precisamos usar a regra da cadeia na derivação.
Assim, temos:
Agora vamos pegar esse resultado e derivar mais uma vez para obter a segunda derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente na derivação:
Passo 3
Agora vamos seguir o mesmo método do passo anterior pra derivar nossa função parcialmente em relação a :
Agora vamos pegar esse resultado e derivar mais uma vez para obter a segunda derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente na derivação:
Passo 4
Agora vamos somar os resultados dos passos e :
Vamos colocar as frações do lado direito no mesmo denominador:
Somando os termos semelhantes, temos:
Portanto, nossa função satisfaz a equação a equação de Laplace .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta