Nos itens a seguir, determine quais sequências numéricas { a_n } convergem e quais divergem. Calcule o limite de cada série convergente.

b)

a_n = (cos^2(n)) / (e^n) , com n ∈ N

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte sequência converge ou diverge:

a n = cos 2 ⁡ n e n

Onde n é um número natural.

Caso essa sequência convirja, então temos que calcular o limite e descobrir para qual valor está convergindo.

Para isso verificarmos isso, basta substituirmos n por números naturais em ordem crescente e verificarmos o comportamento das respostas.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, substituindo n por números naturais em ordem crescente, temos:

a 1 = cos 2 ⁡ 1 e 2 ≈ 0,3678

a 2 = cos 2 ⁡ 2 e 2 ≈ 0,1352

a 3 = cos 2 ⁡ 3 e 3 ≈ 0,0497

a 4 = cos 2 ⁡ 4 e 4 ≈ 0,01823

a 5 = cos 2 ⁡ 5 e 5 ≈ 0 , 0067

Perceba que, à medida que aumentamos o n , o resultado de a n se aproxima de zero.

Dessa forma, a sequência converge para zero!!

Outra explicação para isso seria analisarmos o numerador e o denominador!!

Veja que a função cos 2 ⁡ n é limitada entre - 1 e 1 , enquanto a função e n cresce exponencialmente à medida que n aumenta.

Assim, o denominador cresce muito mais rapidamente do que o numerador, fazendo com que a fração tenda a zero!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A sequência converge para zero!

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