Passo 1
Primeiro vamos escrever essa sequencia de uma forma mais organizada.
O primeiro cara é
O segundo é o somado com
O terceiro é o segundo somado com
O quarto é o terceiro somado com
E assim por diante
Assim:
Dessa forma é fácil perceber que a sequência é crescente, já que , não é mesmo?
Mais simples que isso, se você pensar no limite , o termo vai depender para uma dízima periódica que é algo que conhecemos bem.
Pelo teorema da série monótona, basta que a sequência seja limitada o que de fato acontece, pois ela é sempre menor que então a sequência é convergente.
Vamos agora calcular o limite dessa sequência.
Passo 2
Vamos tomar uma subsequência já que toda subsequência dessa sequência tem o mesmo limite. Então seja a sub sequência abaixo:
Assim, somando todos os elementos e cortando podemos escrever:
Esse monte de potências de somadas entre parênteses nada mais é que uma soma de uma P.G. com razão .
Dando uma arrumada
Finalmente podemos tomar o limite da sequência:
Fazendo a sima da P.G. infinita