Seja a sequência definida de forma recorrente por , para e .
Supondo que a sequência seja convergente, calcule seu limite.
Passo 1
Você já sabe que teremos que calcular um limite de sequêcias né? Lembra como se calcula isso?
Neste caso, a gente supõe que se a sequência tiver um limite, o “nome” dele vai ser .
Passo 2
Então o que temos que fazer é calcular o limite de . Vamos ajeitar um pouco aquela equação, pro próximo passo ficar mais claro:
Amigx, o enunciado supõe que a sequência é convergente, então o
Se a gente está tratando de um muito grande, tem que convergir pra , ou seja, pro limite.
Passo 3
Beleza, agora vamos passar o limite em ambos os lados da equação acima, ok?
Se, no limite, todos os tendem pra , é só substituir:
Passo 4
Ops! Temos dois candidatos pro limite, e isso não pode existir. Pensa comigo, se existe um limite, esse cara tem que ser único (se não, não é um limite né?)
Vamos provar que , mostrando que é uma sequência de termos positivos. Aplicando o princípio da Indução Finita (nome bonito né?):
A primeira coisa que a questão fala é que , isso mostra que .
Supondo que , temos que
Portanto, e consequentemente