UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 11
A sequência converge?
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu uma sequência numérica
e perguntou se ela converge.
Sequências só admitem números inteiros, então olhando assim a gente teria que ir substituindo esse por vários números e ir vendo o comportamento da sequência. Mas assim fica pouco complicado né?
A ideia aqui é se o valor que essa sequência assume quando é enoooooorme (daí ela diverge) ou não (aí ela converge).
E para fazer isso a gente pode usar uma definição muito útil que diz assim
Dizemos que uma sequência converge para o limite se dado qualquer, existir um número inteiro positivo , tal que para . Neste caso, escrevemos
Dizemos que uma sequência diverge quando não converge para algum limite finito.
O QUÊ?
Calma!
Na prática essa definição quer dizer o seguinte: se associamos com uma função, exatamente igual, apenas trocando por , calculamos o limite quando . Se esse limite for um número, então essa sequência converge. Se for , essa sequência diverge.
Isso porque se a função converge, significa que a sequência também converge. É como se a sequência fosse um pedacinho da função, que só usasse os números inteiros de , enquanto que uma função usa todos os outros números.
Então se uma função, que usa todos os números, converge, então uma sequência, que usa só os inteiros, também vai convergir. E a mesma ideia é válida para verificar a divergência. Se uma diverge, a outra também diverge.
É isto: precisamos trocar por na expressão para a sequência dada e calcular o limite no infinito. Se der algum número (e aqui pode ser também o zero viu, é qualquer número mesmo, só não pode dar uma indeterminação ou infinito), quer dizer que essa sequência converge. Se não, ela diverge.
Beleza?
Passo 2
Vamos começar trocando por na sequência:
Ao fazermos isso, temos uma função :
E agora vamos calcular o limite dessa função quando :
E aqui reina nosso querido cálculo de limites! Achou que ia te livrar de cálculo 1? Pois ele volta para puxar teu pé!
Aqui vale todas as técnicas de cálculo de limite que você já viu alguma vez na vida. Dica: se quiser relembrar algumas dessas técnicas lindonas, passa lá no nosso site na parte de limites!
Ok, chega de enrolação! Bora calcular esse limite!
Passo 3
Temos esse limite aqui
Quando é enorme, aquele pode ser aproximado por apenas . No infinito, aquele 1 pode ser desconsiderado tá?
Agora vamos analisar o numerador . A função seno pode receber qualquer valor de , ela é uma função contínua para todos os reais. Mas isso não significa que o valor que ela vá fornecer seja grande/pequeno. Na verdade a imagem da função seno (o valor que ela fornece pra gente quando substituímos algum valor de ) é bem limitada: ela varia entre e .
Então embora o possa valer valores muito altos, a função seno fica entre sempre.
Tranquilo?
Passo 4
E nosso denominador?
Bom, estamos falando de , vamos ver para alguns valores de como essa função se comporta:
À medida que cresce, o valor que ela fornece vai aumentando, lentamente, mas vai aumentando.
Isso significa que quando quando .
Passo 5
Voltando ao nosso limite:
Juntando as duas informações: no numerador temos sempre números entre e . Já o denominador vai a . Podemos dizer que em módulo
(se é ou ali em cima não importa agora, não estamos querendo saber o valor exato desse limite, mas sim seu comportamento: se ele tende a um número ou se dá )
Temos 1 sobre um número muito grande: e isso nos leva a um resultado próximo de (que é um número!).
Logo a sequência
Converge
E a escolha correta é: verdadeiro
Beleza?
Por enquanto é isso!
Até a próxima!