Quais das sequências convergem? Quais divergem? Encontre o limite das sequências convergentes.

c)

a_n = raiz(10n, n)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a seguinte sequência converge ou diverge para um número no infinito:

a n = 10 n n

Caso ela convirja, devemos encontrar o seu limite, ou seja, o número para o qual ela está tendendo.

Para isso, podemos chamar nossa sequência a n de uma função f n :

f n = 10 n n ∴

f n = 10 n 1 n

Agora basta aplicarmos o limite!!!

Eaí? Bora lá?

😉

Passo 2

Aplicando o limite no infinito para f n e resolvendo, temos:

lim n → ∞ ⁡ f n =

= lim n → ∞ ⁡ 10 n 1 n

Sabendo que a x = e ln ⁡ a x , temos:

lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ 10 n 1 n

Sabendo também que ln ⁡ a x = x * ln ⁡ a , temos:

lim n → ∞ ⁡ e 1 n *ln ⁡ 10 n

Aplicando a regra da cadeia, fazemos u = 1 n *ln ⁡ 10 n , logo:

lim n → ∞ ⁡ 1 n *ln ⁡ 0,03

Veja que o denominador cresce muito mais rápido do que o numerador, fazendo com que o limite se aproxime de zero.

Dessa forma, obtemos:

lim u → 0 ⁡ e u = 1

Logo, temos que nossa sequência converge para 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A sequência converge para 1

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