UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 3a
Calcule o limite das sequências de termo geral:
Passo 1
Olá meu amigo, Yuri aqui e para calcular o limite da sequência dada, vamos usar os conceitos de limite. O termo geral da sequência é:
Queremos encontrar o limite quando n se aproxima do infinito, ou seja, .
Podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, note que a soma dentro dos parênteses é uma soma harmônica, que é conhecida por crescer lentamente. Além disso, estamos multiplicando essa soma por , o que a torna ainda menor à medida que n aumenta.
Sabemos que a soma harmônica, , cresce como o logaritmo natural de n, ou seja, . Portanto:
Passo 2
Agora, podemos calcular o limite:
Podemos usar a regra de L'Hospital aqui, que nos permite calcular o limite de uma indeterminação do tipo aplicando a derivada do numerador e do denominador:
Portanto, o limite da sequência é igual a 0: