Calcule o limite das sequências de termo geral:

  1. (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) / n;

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e para calcular o limite da sequência dada, vamos usar os conceitos de limite. O termo geral da sequência é:

a n = 1   + 1 2 + 1 3 +   . . .   + 1 n n

Queremos encontrar o limite quando n se aproxima do infinito, ou seja, lim n  - >  ∞ ⁡ a n .

Podemos reescrever a n da seguinte forma:

a n =   1 n 1   + 1 2 + 1 3 +   …   + 1 n

Agora, note que a soma dentro dos parênteses é uma soma harmônica, que é conhecida por crescer lentamente. Além disso, estamos multiplicando essa soma por 1 n , o que a torna ainda menor à medida que n aumenta.

Sabemos que a soma harmônica, H n , cresce como o logaritmo natural de n, ou seja, H n ≈ ln ⁡ n . Portanto:

a n ≈   1 n * ln ⁡ n

Passo 2

Agora, podemos calcular o limite:

l i m n   →   ∞ a n   = l i m n   →   ∞   1 n * ln ⁡ n

l i m n   →   ∞ 1 n *   l n n = l i m n   →   ∞ l n n n

Podemos usar a regra de L'Hospital aqui, que nos permite calcular o limite de uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ aplicando a derivada do numerador e do denominador:

l i m n   →   ∞ l n n n = l i m n   →   ∞ 1 n 1 =   0

Portanto, o limite da sequência é igual a 0:

l i m n   →   ∞ a n =   0

Resposta

l i m n   →   ∞ a n =   0

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