Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

d)

a_n = (-1)^n * n^3 / (n^3 + 2n^2 + 1)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte sequência converge ou diverge:

a n = - 1 n n 3 n 3 + 2 n 2 + 1

Onde n é um número natural.

Caso essa sequência convirja, então temos que calcular o limite e descobrir para qual valor está convergindo.

De cara já podemos que a função irá divergir por conta do termo - 1 n que irá ficar alternando o valor para positivo ou negativo à medida que n for par ou ímpar, respectivamente.

De toda forma, podemos verificar melhor nossa função para n ímpar e para n par

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, para n par, temos:

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 + 2 n 2 + 1

Dividindo o numerador e o denominador por n 3 , temos:

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 n 3 n 3 + 2 n 2 n 3 + 1 n 3 ∴

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 n + 1 n 3

Aplicando o limite, temos que o limite será igual a 1 .

Passo 3

Por outro lado, para n ímpar, temos:

lim n → ∞ ⁡ - n 3 n 3 + 2 n 2 + 1

Dividindo o numerador e o denominador por n 3 , temos:

lim n → ∞ ⁡ - n 3 n 3 n 3 n 3 + 2 n 2 n 3 + 1 n 3 ∴

lim n → ∞ ⁡ - 1 1 + 2 n + 1 n 3

Aplicando o limite, temos que o limite será igual a - 1 .

Assim, vemos que a função como um todo diverge à medida que n vá crescendo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A sequência diverge

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