UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 10
A sequência converge?
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu uma sequência numérica
e perguntou se ela converge.
Sequências só admitem números inteiros, então olhando assim a gente teria que ir substituindo esse por vários números e ir vendo o comportamento da sequência. Mas assim fica pouco complicado né?
A ideia aqui é se o valor que essa sequência assume quando é enoooooorme (daí ela diverge) ou não (aí ela converge).
E para fazer isso a gente pode usar uma definição muito útil que diz assim
Dizemos que uma sequência converge para o limite se dado qualquer, existir um número inteiro positivo , tal que para . Neste caso, escrevemos
Dizemos que uma sequência diverge quando não converge para algum limite finito.
O QUÊ?
Calma!
Na prática essa definição quer dizer o seguinte: se associamos com uma função, exatamente igual, apenas trocando por , calculamos o limite quando . Se esse limite for um número, então essa sequência converge. Se for , essa sequência diverge.
Isso porque se a função converge, significa que a sequência também converge. É como se a sequência fosse um pedacinho da função, que só usasse os números inteiros de , enquanto que uma função usa todos os outros números.
Então se uma função, que usa todos os números, converge, então uma sequência, que usa só os inteiros, também vai convergir. E a mesma ideia é válida para verificar a divergência. Se uma diverge, a outra também diverge.
É isto: precisamos trocar por na expressão para a sequência dada e calcular o limite no infinito. Se der algum número (e aqui pode ser também o zero viu, é qualquer número mesmo, só não pode dar uma indeterminação ou infinito), quer dizer que essa sequência converge. Se não, ela diverge.
Beleza?
Passo 2
Vamos começar trocando por na sequência:
Ao fazermos isso, temos uma função :
E agora vamos calcular o limite dessa função quando :
E aqui reina nosso querido cálculo de limites! Achou que ia te livrar de cálculo 1? Pois ele volta para buscar teu pé!
Aqui vale todas as técnicas de cálculo de limite que você já viu alguma vez na vida. Dica: se quiser relembrar algumas dessas técnicas lindonas, passa lá no nosso site na parte de limites!
Ok, chega de enrolação! Bora calcular esse limite!
Passo 3
Temos esse limite aqui
Temos um arco tangente cujo argumento é um . Então vamos primeiro analisar o que acontece com o logaritmo quando o fica muito grande.
A função logaritmo cresce, mas cresce bem lentamente. Dá uma olhadinha no gráfico de :
Ela é uma função crescente, só que é lenta. Mas o que importa para nós é que ela tende à infinito.
Essa informação que precisamos: quando , também.
Tranquilo?
Passo 4
Agora que sabemos como o logaritmo se comporta, podemos analisar como o arco tangente do logaritmo se comporta: é como se fosse uma cebola invertida, uma camada de cada vez, primeiro a mais interna (por isso invertida) depois as camadas mais externas.
Como sabemos que , agora precisamos analisar a função arco tangente de , quando for crescendo:
E quem é esse do qual esse arco se aproxima?
Arrá! Então temos que a função para valores grandes de tende a ! Da uma olhadinha no gráfico dessa função:
À medida que aumenta, a função em verde tende ao valor de (olhando para o lado positivo de , tá? É esse lado que nos interessa, pois assume apenas valores positivos na sequência)
Beleza?
Então temos que nossa função tem um limite finito quando .
Passo 5
Voltando ao nosso limite:
Logo a sequência
Converge
E a escolha correta é: verdadeiro
Beleza?
Por enquanto é isso!
Até a próxima!