Quais das sequências convergem? Quais divergem? Encontre o limite das sequências convergentes.

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a n = ln ⁡ n + 1 n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a seguinte sequência converge ou diverge para um número no infinito:

a n = ln ⁡ n + 1 n

Caso ela convirja, devemos encontrar o seu limite, ou seja, o número para o qual ela está tendendo.

Para isso, podemos chamar nossa sequência a n de uma função f n :

f n = ln ⁡ n + 1 n

Agora basta aplicarmos o limite!!!

Eaí? Bora lá?

😉

Passo 2

Aplicando o limite no infinito para f n e resolvendo, temos:

lim n → ∞ ⁡ f n =

= lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 n

Bom... para resolver esse limite a gente pode aplicar L’Hopital, visto que trata-se de uma indeterminação do tipo ∞ ∞ .

Dessa forma, derivando o numerador e o denominador, obtemos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 1 2 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 1

Podemos aplicar L’Hopital novamente, que resulta:

lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 ∴

= lim n → ∞ ⁡ 1 n

Resolvendo o limite, vemos que ele tenderá a zero.

Dessa forma, concluímos que nossa sequência converge para 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A sequência converge para 0

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19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n