UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 6
A sequência converge?
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu uma sequência numérica
e perguntou se ela converge.
Sequências só admitem números inteiros, então olhando assim a gente teria que ir substituindo esse por vários números e ir vendo o comportamento da sequência. Mas assim fica pouco complicado né?
A ideia aqui é se o valor que essa sequência assume quando é enoooooorme (daí ela diverge) ou não (aí ela converge).
E para fazer isso a gente pode usar uma definição muito útil que diz assim
Dizemos que uma sequência converge para o limite se dado qualquer, existir um número inteiro positivo , tal que para . Neste caso, escrevemos
Dizemos que uma sequência diverge quando não converge para algum limite finito.
O QUÊ?
Calma!
Na prática essa definição quer dizer o seguinte: se associamos com uma função, exatamente igual, apenas trocando por , calculamos o limite quando . Se esse limite for um número, então essa sequência converge. Se for , essa sequência diverge.
Isso porque se a função converge, significa que a sequência também converge. É como se a sequência fosse um pedacinho da função, que só usasse os números inteiros de , enquanto que uma função usa todos os outros números.
Então se uma função, que usa todos os números, converge, então uma sequência, que usa só os inteiros, também vai convergir. E a mesma ideia é válida para verificar a divergência. Se uma diverge, a outra também diverge.
É isto: precisamos trocar por na expressão para a sequência dada e calcular o limite no infinito. Se der algum número (e aqui pode ser também o zero viu, é qualquer número mesmo, só não pode dar uma indeterminação ou infinito), quer dizer que essa sequência converge. Se não, ela diverge.
Beleza?
Passo 2
Vamos começar trocando por na sequência:
Ao fazermos isso, temos uma função :
E agora vamos calcular o limite dessa função quando :
E aqui reina nosso querido cálculo de limites! Achou que ia te livrar de cálculo 1? Pois ele volta para buscar teu pé!
Aqui vale todas as técnicas de cálculo de limite que você já viu alguma vez na vida. Dica: se quiser relembrar algumas dessas técnicas lindonas, passa lá no nosso site na parte de limites!
Tá, chega de enrolação! Bora calcular esse limite!
Passo 3
Temos esse limite aqui
Quando é enorme, essa potência fica com um expoente também enorme e aquele 1 pode ser desconsiderado né?
Agora vamos analisar a base dessa potência: se for um número maior do que 1, à medida em que esse aumenta, o resultado vai aumentando cada vez mais. Vamos ver isso com uma base :
E assim por diante! Quando aumentamos a potência ali, vamos achar um número cada vez maior...
E se a base for entre e 1? Por exemplo o :
Quando a base está entre , à medida que aumenta, o limite tende à zero!
A ideia então é verificar se a base que temos é maior do que 1, ou entre e .
Tranquilo?
Passo 4
Voltando ao nosso limite:
O número de Euler, aquele é um número irracional (que nem o ) e vale aproximadamente .
Sendo assim a base dessa potência
Está entre e . Logo o limite dessa função tende à zero
Logo a sequência
Converge
E a escolha correta é: verdadeiro
Beleza?
Por enquanto é isso!
Até a próxima!