Quais das sequências convergem? Quais divergem? Encontre o limite das sequências convergentes.

t)

a n = sin 2 ⁡ n 2 n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a seguinte sequência converge ou diverge para um número no infinito:

a n = sin 2 ⁡ n 2 n

Caso ela convirja, devemos encontrar o seu limite, ou seja, o número para o qual ela está tendendo.

Para isso, podemos chamar nossa sequência a n de uma função f n :

f n = sin 2 ⁡ n 2 n

Agora basta aplicarmos o limite!!!

Eaí? Bora lá?

😉

Passo 2

Aplicando o limite no infinito para f n e resolvendo, temos:

lim n → ∞ ⁡ f n =

= lim n → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ n 2 n

Nesse caso aqui a gente pode determinar o limite utilizando o Teorema do Confronto. Bora relembrar?

Sejam f x ,   g x e h x funções reais definidas no domínio D ∈ R e seja um ponto a dentro desse domínio, então se:

g x ≤ f x ≤ h x

E

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ g x = L

Então

lim x → a ⁡ f x = L

Agora vamos aplicar em nossa função!!

Passo 3

Bom...a gente sabe que a função sin 2 ⁡ n tem o seguinte intervalo:

0 ≤ sin 2 ⁡ n ≤ 1

Dividindo a inequação por 1 2 n , temos:

0 2 n ≤ sin 2 ⁡ n 2 n ≤ 1 2 n ∴

0 ≤ sin 2 ⁡ n 2 n ≤ 1 2 n

Aplicando o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ 0 ≤ lim n → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ n 2 n ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 2 n

Quando n → ∞ , o termo 1 2 n tende a zero, portanto:

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ n 2 n ≤ 0

Logo, pelo Teorema do Confronto, temos:

lim n → ∞ ⁡ sin 2 ⁡ n 2 n = 0

Ou seja, a sequência converge para zero!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A sequência converge para 0

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n