UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 8, Questão 46.
Seja uma sequência definida por
Determine o valor de .
Obs. O símbolo representa o produtório de elementos listados.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão temos que determinar o valor de que é uma sequência dada por
E .
Sabe esse grandão? Então esse é o símbolo do produtório, ou seja, .
Portanto essa sequência é dada pela raiz n-esima do produto de de variando de a .
Vamos começar escrevendo nossa sequência! Bora lá? 😁
Passo 2
Talvez escrevendo alguns termos da nossa sequência vamos obter algumas informações que podem nos ajudar.
E assim vai seguindo esse padrão...
Logo, é visto como
Perceba a partir do produtório, o denominador de tende a um número muito grande.
Consegue ver isso? 🤔
Passo 3
No denominador, estamos sempre multiplicando um valor , podemos provar isso calculando .
Podemos reescrever esse termo como , ou seja
Aplicando as propriedades dos expoentes, temos
Para , o termo tende a , portanto qualquer multiplicação que inclui ele tende a também.
Se , então
Logo, o menor valor do denominador de é , então para cada iteração do produtório, o denominador aumenta.
Já sabemos o que acontece com um valor pequeno que é dividido por um número muito grande, não é?
Logo, o valor de na sequência dada pode ser simplificada simplesmente por
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
