Seja a_n, n ∈ N uma sequência definida por

a_n = raiz(n-ésima do produto de 1/k, com k variando de 1 até n)

Determine o valor de a_n (n ∈ ℕ) .

Obs. O símbolo ∏(k=1 até n) x_k = x_1 · x_2 · x_3 · … · x_k representa o produtório de k elementos listados.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que determinar o valor de a n que é uma sequência dada por

a n = ∏ k = 1 n 1 k n

E n ∈ N .

Sabe esse π grandão? Então esse é o símbolo do produtório, ou seja, ∏ k = 1 n x k = x 1 · x 2 · x 3 … x k .

Portanto essa sequência é dada pela raiz n-esima do produto de 1 k de k variando de 1 a n .

∏ k = 1 n 1 k = 1 1 · 1 2 · 1 3 … 1 n

Vamos começar escrevendo nossa sequência! Bora lá? 😁

Passo 2

Talvez escrevendo alguns termos da nossa sequência vamos obter algumas informações que podem nos ajudar.

k 1 = 1 1 1 = 1

k 2 = 1 2 2 = 1 2

k 3 = 1 3 3 = 1 3 3

k 4 = 1 4 4 = 1 4 4

E assim vai seguindo esse padrão...

Logo, a n é visto como

a n = 1 · 1 2 · 1 3 3 · 1 4 4 · 1 5 5 · 1 6 6 · 1 7 7 … 1 ∞ ∞

a n = 1 2 · 3 3 · 4 4 · 5 5 · 6 6 · 7 7 … ∞ ∞

Perceba a partir do produtório, o denominador de a n tende a um número muito grande.

Consegue ver isso? 🤔

Passo 3

No denominador, estamos sempre multiplicando um valor ≥ 1 , podemos provar isso calculando ∞ ∞ .

Podemos reescrever esse termo como ∞ 1 / ∞ , ou seja

lim x → ∞ ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ x 1 x

Aplicando as propriedades dos expoentes, temos

lim x → ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ x

Para x = ∞ , o termo 1 x tende a 0 , portanto qualquer multiplicação que inclui ele tende a 0 também.

lim x → ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ x = e 0 = 1

Se lim x → ∞ ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ x , então

lim x → ∞ ⁡ x x = 1

Logo, o menor valor do denominador de a n é 1 , então para cada iteração do produtório, o denominador aumenta.

a n = 1 2 · 3 3 · 4 4 · 5 5 · 6 6 · 7 7 … 1

Já sabemos o que acontece com um valor pequeno que é dividido por um número muito grande, não é?

a n = 1 ∞ = 0

Logo, o valor de a n na sequência dada pode ser simplificada simplesmente por a n = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a n = 0

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