UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 20
Em relação ao limite
É correto:
Escolha uma opção:
- Diverge para
- Não existe
- Converge para
- Diverge para
- Converge para
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema pediu para calcular o limite dessa sequência aí!
Sequências só admitem números inteiros, então olhando assim a gente teria que ir substituindo esse por vários números e ir vendo o comportamento da sequência. Mas assim fica pouco complicado né?
A ideia aqui é se o valor que essa sequência assume quando é enoooooorme (daí ela diverge) ou não (como um número, aí ela converge).
E para fazer isso a gente pode usar uma definição muito útil que diz assim
Dizemos que uma sequência converge para o limite se dado qualquer, existir um número inteiro positivo , tal que para . Neste caso, escrevemos
Dizemos que uma sequência diverge quando não converge para algum limite finito.
O QUÊ?
Calma!
Na prática essa definição quer dizer o seguinte: se associamos com uma função, exatamente igual, apenas trocando por , calculamos o limite quando . Se esse limite for um número, então essa sequência converge. Se for , essa sequência diverge.
Isso porque se a função converge, significa que a sequência também converge. É como se a sequência fosse um pedacinho da função, que só usasse os números inteiros de , enquanto que uma função usa todos os outros números.
Passo 2
Trocando por no nosso limite temos:
E aí nosso problema virou calcular esse limite aí!
Bom, uma coisa que servia lá no cálculo 1 e que serve agora também é que o limite da soma (que é nosso caso) é a soma dos limites. Então vamos separar esse limite em dois:
Agora vamos analisar cada termo individualmente para ver se essa sequência converge (e para onde) ou não ou se ela nem existe!
Passo 3
Analisando o primeiro termo
Esse faz sentido quando é inteiro, pois quando é par, temos um número positivo, e quando é ímpar, temos um número negativo na sequência. Mas quando falamos em função não mais, pois não conseguimos classificar a paridade (se é par ou ímpar) de um número com vírgula, por exemplo.
Então já com esse termo podemos afirmar que o limite não existe, pois não podemos calcular ele. Mesmo que o segundo termo a gente consiga.
O segundo termo
Por mais que o termo não faça muito sentido isoladamente, aqui ele está multiplicando o termo , e esse tende à zero quando , então essa parte do limite a gente poderia calcular e dizer que converge à zero.
Mas por causa daquele primeiro termo ali, isso não é verdade! Logo, esse limite não existe. Alternativa (b).
Até a próxima!