Em relação à sequência a n n ∈ N dada por

a n = ∫ 0 n e - x 2 d x ,  

Tem se que:

Escolha uma opção:

  1. lim n → ∞ ⁡ a n = 0
  2. lim n → ∞ ⁡ a n = - 2
  3. lim n → ∞ ⁡ a n = 1 2
  4. lim n → ∞ ⁡ a n = 2
  5. lim n → ∞ ⁡ a n = 2

Passo 1

Oi galera, tudo tranquilo? Essa questão parece ser cabeluda, mas vou resolver junto com você! Vem comigo!

O problema nos deu uma sequência assim:

a n = ∫ 0 n e - x 2 d x

E nos perguntou quanto é o limite do termo geral a n   dessa sequência quando n → ∞ .

Bom, o primeiro passo é descobrir quem é esse tal termo geral a n . A ideia aqui é fazer essa integral para determinar a expressão do termo geral

Em seguida, com essa expressão na mão, calcular o limite quando n → ∞ .

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

A integral definida que precisamos calcular é essa

∫ 0 n e - x 2 d x

Lembrando da integral da exponencial ∫ e u d u = e u , vou usar a técnica de integração por substituição

Chamando u = - x 2 a derivada de u em relação a x temos

u = - x 2 → d u = - d x 2 ∴ d x = - 2 d u

Nesse tipo de substituição, não esqueça de fazer a troca dos limites também

x = 0 → u = - 0 2 = 0

x = n → u = - n 2

Vou substituir ali na integral

∫ 0 n e - x 2 d x = - 2 ∫ 0 - n / 2 e u d u

Assim podemos fazer a integração em u :

- 2 e u 0 - n 2 = - 2 e - n 2 - e 0 = - 2 1 e n 2 - 1 = 2 1 - 1 e n 2

Pronto! Temos a expressão para o termo geral:

a n = 2 1 - 1 e n 2

Podemos agora calcular o limite quando n → ∞

Passo 3

Calculando o limite quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ 2 1 - 1 e n 2 = 2 - 1 e ∞ = 2

Portanto

lim n → ∞ ⁡ a n = 2

E a resposta que nos diz isso é a letra (e).

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( e )

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