UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 41
Suponha que e sejam duas sequências tais que
- , para todo .
Então qual é o valor de ?
Escolha uma opção:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema deu duas sequências:
E mais algumas informações:
- , para todo : isto é, todos os números que compõe a sequência de são positivos
- , ou seja, no infinito, a sequência assume um valor constante de .
E nos pediu para calcular o seguinte limite:
Então a ideia para resolver esse limite é: aplicar as regrinhas de limites para funções – essas mesmo que você já conhece lá do cálculo 1 – porque elas funcionam para sequências também e usar as informações (principalmente sobre o limite do , vai ser beeeem útil!) dadas e analisar para onde tende essa coisa
Belezinha?
Passo 2
Como você viu lá em cálculo: o limite do produto é o produto os limites, e isso se aplica aqui também
O nosso limite é
Separando no produto de dois limites:
Podemos analisar cada um dos limites para depois juntar os resultados
Passo 3
Analisando o limite envolvendo
Lembra daquelas informações adicionais que o problema nos deu? Então, agora que vou usar!
A informação correspondente ao é:
Sendo assim, no infinito, a sequência tende ao número dois. E é esse resultado que precisamos para resolver o limite ali em cima:
Mas , então
Pronto! Temos nosso primeiro resultado!
Agora vamos analisar o outro. E sim precisamos analisar o outro também, isso porque podemos ter uma indeterminação do tipo ou e se isso acontecer precisaremos manipular nossa função para sair dessa situação.
Mas calma, se isso acontecer, vamos resolver juntos passo a passo!
Passo 4
Agora o outro limite, a parte envolvendo o
A informação adicional que é associada ao nos diz que
, para todo
Isso significa que o argumento dentro do seno é positivo. Não sabemos se o argumento é maior do que 1 ou menor, mas sabemos que ele é positivo.
Mas independente da magnitude do argumento, a função seno tem uma característica bem interessante: o valor que ele assume está SEMPRE entre -1 e 1!
Isso mesmo! Esse limite está sempre entre e , e se caso ficar muito grande no infinito, tipo e por consequência o argumento do seno ir à zero , o máximo que pode acontecer é esse seno ir à zero.
Então tanto faz se o argumento no infinito assume valores grandes ou tende à zero, o seno sempre retorna valores entre -1 e 1.
Vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 no nosso limite original
Passo 5
A gente tinha
E separamos no produto de dois limites
Calculamos separadamente cada um dos termos:
Como o limite do seno dá sempre algo entre -1 e 1, não temos aquela indeterminação que falei para você antes, temos o produto de dois números, sendo que um deles é o 0
Então esse limite vai a zero!
E alternativa que nos diz isso é a (d)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!