Determine se a sequência abaixo é convergente ou divergente, e caso convergente, determine o seu limite:

a n = n + 3 n + 2 n

Passo 1

Uma sequência é convergente quando o limite existe e vale um número. E ela é divergente quando o limite não existe e estoura para o infinito.

Então, para saber se uma sequência converge, basta calcular o seu limite, então fica:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n

Repara que temos:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n = ∞ ∞ ∞

Pô várias indeterminações, vamos ter que dar uma arrumada nisso aí.

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é isso aqui:

n + 3 n + 2 n = n + 3 n n + 2 n = 1 + 3 n n 1 + 2 n n

Então, temos que:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n 1 + 2 n n

Passo 3

Agora você precisa lembrar da fórmula do limite fundamental exponencial. Não lembra? Eu te ajudo!

lim n → ∞ ⁡ 1 + a n n = e a  

Então, o que a gente vai ter é:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n 1 + 2 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n = e 3 e 2 = e

Resposta

Converge e o valor do limite é e .

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