Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas

a )     lim n → ∞ ⁡ n ! 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) = 0

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos verificar se esse limite

lim n → ∞ ⁡ n ! 1.3 . 5 … 2 n - 1

vai a zero! Mas você saberia como começar?

A ideia aqui é abrir esse número! Verificar o que acontece quando n = 5 ,   10 ,   15 ... e perceber um padrão!

Será que à medida em que n cresce, aquela razão tende a zero?

Bora conferir?

Passo 2

Nosso limite é

lim n → ∞ ⁡ n ! 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 )

Vamos testar para ver o que acontece quando n = 5 :

n ! 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 ) = 5 ! 1.3 . 5 … ( 9 ) = 5.4 . 3.2 . 1 1.3 . 5.7 . 9

Podemos simplificar bastante coisa!

= 4.2 7.9 = 8 63

É, não é um bom exemplo... ainda não conseguimos ver o comportamento no infinito...

Agora vamos aumentar pouco mais esse n , digamos n = 10

10 ! 1.3 . 5 … ( 19 ) = 10.9 . 8.7 . 6.5 . 4.3 . 2.1 1.3 . 5.7 . 9.11.13.15.17.19

Agora já conseguimos ver que mesmo simplificando, no denominador sobram números bem maiores

= 10.8 . 6.4 . 2 11.13.15.17.19 = 5,54 × 10 - 3  

E o que acontece quando n = 15 ?

1 5 ! 1.3 . 5 … ( 2 9 ) = 1.2 . 3.4 . 5.6 . 7.8 . 9.10.11.12.13.14.15 1.3 . 5.7 . 9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29

Podemos simplificar, e podemos já ver que essa razão tende a zero mesmo!

2.4 . 6.8 . 10.12.14 17.19.21.23.25.27.29 = 2,11 × 10 - 4

Podemos seguir fazendo isso indefinidamente...

Encontraríamos sempre resultados cada vez menores! Mais próximos de zero! Então esse limite quando n → ∞ realmente é zero!

lim n → ∞ ⁡ n ! 1.3 . 5 … ( 2 n - 1 )

E a afirmativa está correta!

Resposta

c o r r e t o

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23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.51. a n = a r ct g ( ln ⁡ n )
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.40. a n = t g - 1 n n
19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n