Vamos começar olhando a primeira alternativa:

1. Dado , por propriedade dos números naturais existe . Logo se , então

Começando com aquele : é um número qualquer positivo. A alternativa disse que existe um outro número que é menor do que , até aqui tudo bem.

Mas aí a alternativa conclui que: se , então

Nem vou chegar na parte que essa desigualdade é , porque aqui ela já está errada

Se , então

É uma mentira! Com um exemplo fica melhor: com e :

Que é

E não o contrário que é o que a afirmativa diz. Então a letra (a) está errada.



Beleza? Vamos para a próxima letra?

Passo 3

Agora testando a alternativa (b):

2. Existe , tal que para todo , por propriedade dos números naturais, existe satisfazendo . Logo .

Essa alternativa começa dizendo que existe um número positivo.

E aí ela diz que para todo (um número do conjunto dos naturais) existe dois outros números e que satisfaz a relação

Só que não sabemos a relação desse com , ele pode ser maior, menor ou igual. E a única coisa que sabemos desse é que ele é maior do que .

Como não podemos relacionar com , e só está relacionado com . Então não podemos relacionar o com o .

E essa alternativa também está errada.



Passo 4

Agora testando a alternativa (c):

3. Existe , a saber tal que para todo , por propriedade dos números naturais , existe satisfazendo . Logo .

Pode assustar no primeiro momento, mas vem comigo: ela de novo diz que existe um , e até define o valor! Diz também que existe um número do conjunto dos naturais e até diz que existe outro número que é maior que . Até aqui tudo bem!

O problema é a parte seguinte: a alternativa diz que existe e que satisfaz

Mas , sendo assim:

Assim é menor do que , mas ao mesmo tempo maior do que (que por sua vez é um número natural)

Lembrando que o conjunto dos números naturais são: . Então só pode ser ou .

Mas nenhuma dessas conclusões nos levam para a justificativa do nosso limite. Precisamos mostrar que vai à zero quando

Vamos para a próxima?

Passo 5

Agora testando a alternativa (d):

4. Dado , por propriedade dos números naturais existe . Logo se , então

Começando do mesmo jeito... seja um número qualquer positivo. E agora existe um outro número que é maior do que . Até aqui tudo bem.

Logo em seguida a alternativa diz que se existe um outro número maior do que esse

Então o inverso desses números

É menor do que o :

Até aqui tudo certinho!

Então se podemos ter cada vez maiores, então será cada vez menor, mas sempre positivo e maior do que , já que

Caso seja pequeno, quase zero (), quando fizermos isso irá resultar em um número grande

Então o pode sempre se aproximar de , o quanto quisermos.

E sempre pode haver um número maior do que (basta somar +1 ao ),

Assim, quando

E também :

Assim

Então essa alternativa justifica com sucesso nosso limite!

Só para não ficar inacabado, vamos analisar a última alternativa!

Passo 6

Agora testando a alternativa (e):

E a última alternativa é:

5. Por propriedade dos números naturais existe . Logo se , então

Aqui ela começa dizendo que tem um número . Até aí ok, porque ela não disse que pertence aos naturais, então ele pode assumir qualquer valor.

Digamos que seja um número natural. A alternativa nos diz que se , então

Isso até é verdade, saca só um exemplo

Com e , então a desigualdade

É satisfeita

Mas isso não justifica que quando , o valor lá da direita seja zero. O valor da direita é fixo e igual a sempre . Mas não justifica que

Certo?

Sendo assim a alternativa correta é a (d).

Até a próxima!