Assinale a alternativa que justifica:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

De forma correta.

Escolha uma opção:

  1. Dado ϵ > 0 , por propriedade dos números naturais existe n 0 < 1 / ϵ . Logo se n ≥ n 0 , então 1 n ≥ 1 n 0 ≥ ϵ .
  2. Existe ϵ > 0 , tal que para todo n 0 ∈ N , por propriedade dos números naturais, existe n 1 > n 0 satisfazendo n 1 > 1 / ϵ . Logo 1 n 1 < ϵ .
  3. Existe ϵ > 0 , a saber ϵ = 1 2 tal que para todo n 0 ∈ N , por propriedade dos números naturais , existe n 1 ≥ n 0 satisfazendo n 1 < 1 ϵ . Logo 1 n 1 ≥ ϵ = 1 2 .
  4. Dado ϵ > 0 , por propriedade dos números naturais existe n 0 > 1 ϵ . Logo se n ≥ n 0 , então 1 n ≤ 1 n 0 < ϵ
  5. Por propriedade dos números naturais existe n 0 > 1 2 . Logo se n ≥ n 0 , então 1 n ≤ 1 n 0 < 1 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? Essa questão parece ser bem cabeluda, mas calma, vamos fazer juntos!

O problema deu um limite

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

E perguntou qual a alternativa que justifica esse resultado! Então vou analisando alternativa por alternativa até achar uma que se adeque bem, ok?

Estamos procurando uma alternativa que nos mostre que cada vez que n aumenta, a fração 1 / n vai à zero.

Passo 2

Vamos começar olhando a primeira alternativa:

  1. Dado ϵ > 0 , por propriedade dos números naturais existe n 0 < 1 / ϵ . Logo se n ≥ n 0 , então 1 n ≥ 1 n 0 ≥ ϵ
  2. Começando com aquele ϵ : é um número qualquer positivo. A alternativa disse que existe um outro número n 0 que é menor do que 1 ϵ , até aqui tudo bem.

    Mas aí a alternativa conclui que: se n ≥ n 0 , então

    1 n ≥ 1 n 0

    Nem vou chegar na parte que essa desigualdade é ≥ ϵ , porque aqui ela já está errada

    Se n ≥ n 0 , então

    1 n ≥ 1 n 0

    É uma mentira! Com um exemplo fica melhor: com n = 8 e n 0 = 5 :

    1 5 ≥ 1 8

    Que é

    1 n 0 ≥ 1 n

    E não o contrário que é o que a afirmativa diz. Então a letra (a) está errada.

    Beleza? Vamos para a próxima letra?

    Passo 3

    Agora testando a alternativa (b):

  3. Existe ϵ > 0 , tal que para todo n 0 ∈ N , por propriedade dos números naturais, existe n 1 > n 0 satisfazendo n 1 > 1 / ϵ . Logo 1 n 1 < ϵ .
  4. Essa alternativa começa dizendo que existe um número ϵ positivo.

    E aí ela diz que para todo n 0 (um número do conjunto dos naturais) existe dois outros números n 1 > n 0 e que satisfaz a relação n 1 > 1 ϵ

    Só que não sabemos a relação desse ϵ com n 0 , ele pode ser maior, menor ou igual. E a única coisa que sabemos desse n 1 é que ele é maior do que n 0 .

    Como não podemos relacionar n 0 com ϵ , e n 1 só está relacionado com n 0 . Então não podemos relacionar o n 1 com o ϵ .

    E essa alternativa também está errada.

    Passo 4

    Agora testando a alternativa (c):

  5. Existe ϵ > 0 , a saber ϵ = 1 2 tal que para todo n 0 ∈ N , por propriedade dos números naturais , existe n 1 ≥ n 0 satisfazendo n 1 < 1 ϵ . Logo 1 n 1 ≥ ϵ = 1 2 .
  6. Pode assustar no primeiro momento, mas vem comigo: ela de novo diz que existe um ϵ , e até define o valor! Diz também que existe um número n 0 do conjunto dos naturais e até diz que existe outro número n 1 que é maior que n 0 . Até aqui tudo bem!

    O problema é a parte seguinte: a alternativa diz que existe n 1 ≥ n 0 e que satisfaz n 1 < 1 / ϵ

    Mas ϵ = 1 / 2 , sendo assim:

    n 1 < 1 1 / 2 = 2

    Assim n 1 é menor do que 2 , mas ao mesmo tempo maior do que n 0 (que por sua vez é um número natural)

    Lembrando que o conjunto dos números naturais são: 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   … . Então n 0 só pode ser 0 ou 1 .

    Mas nenhuma dessas conclusões nos levam para a justificativa do nosso limite. Precisamos mostrar que 1 / n vai à zero quando n → ∞

    Vamos para a próxima?

    Passo 5

    Agora testando a alternativa (d):

  7. Dado ϵ > 0 , por propriedade dos números naturais existe n 0 > 1 ϵ . Logo se n ≥ n 0 , então 1 n ≤ 1 n 0 < ϵ
  8. Começando do mesmo jeito... seja um número qualquer ϵ positivo. E agora existe um outro número n 0 que é maior do que 1 ϵ   . Até aqui tudo bem.

    Logo em seguida a alternativa diz que se existe um outro número maior do que esse n 0

    n ≥ n 0

    Então o inverso desses números

    1 n ≤ 1 n 0

    É menor do que o ϵ :

    1 n ≤ 1 n 0 < ϵ

    Até aqui tudo certinho!

    Então se podemos ter n cada vez maiores, então 1 / n será cada vez menor, mas sempre positivo e maior do que ϵ , já que n 0 > 1 / ϵ

    Caso ϵ seja pequeno, quase zero ( ϵ → 0 ), quando fizermos 1 / ϵ isso irá resultar em um número grande

    n 0 > 1 / ϵ

    Então o ϵ pode sempre se aproximar de 0 , o quanto quisermos.

    E sempre pode haver um número n maior do que n 0 (basta somar +1 ao n 0 ),

    Assim, quando n → ∞

    1 n ≤ 1 n 0

    E também 1 n 0 < ϵ :

    1 n ≤ 1 n 0 < ϵ = 0

    Assim

    lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

    Então essa alternativa justifica com sucesso nosso limite!

    Só para não ficar inacabado, vamos analisar a última alternativa!

    Passo 6

    Agora testando a alternativa (e):

    E a última alternativa é:

  9. Por propriedade dos números naturais existe n 0 > 1 2 . Logo se n ≥ n 0 , então 1 n ≤ 1 n 0 < 1 2

Aqui ela começa dizendo que tem um número n 0 > 1 / 2 . Até aí ok, porque ela não disse que n 0 pertence aos naturais, então ele pode assumir qualquer valor.

Digamos que n 0 seja um número natural. A alternativa nos diz que se n ≥ n 0 , então

1 n ≤ 1 n 0 < 1 2

Isso até é verdade, saca só um exemplo

Com n 0 = 3 e n = 5 , então a desigualdade

1 n ≤ 1 n 0 < 1 2

É satisfeita

1 5 ≤ 1 3 < 1 2

Mas isso não justifica que quando n → ∞ , o valor lá da direita seja zero. O valor da direita é fixo e igual a sempre ½ . Mas não justifica que

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Certo?

Sendo assim a alternativa correta é a (d).

Até a próxima!

Resposta

( d )

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