UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 3º Estágio - 2022.1, Questão 1b.
1 – Nos itens a seguir, determine quais sequencias numéricas convergem e quais divergem. Calcule o limite de cada sequência convergente.
b) , com .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Quando falamos que uma sequência converge, estamos dizendo que conforme aumenta, tende a um valor constante, ou seja
Assim, se é um valor finito, a sequência converge, mas se for ou , a sequ��ncia diverge.
E é isso que estamos interessados em descobrir nessa questão! Queremos saber se converge ou diverge.
Bora ver! 😁
Passo 2
Calculando o limite de , temos
A primeira coisa que temos que fazer é analisar a fração para deduzir certos comportamentos... por exemplo sabemos que varia entre e e é uma função exponencial que aumenta muito rápido conforme aumenta.
Então podemos aplicar o teorema do confronto a partir de , veja só
Dividindo todos os lados por , temos
Como sabemos, cresce, ou seja
Então para tendendo ao infinito, tende a , aplicando o limite na inequação
Como temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, e tendem a
Com isso, vemos que converge para .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
, converge.