Verifique se as sequencias definidas pelos seguintes termos gerais convergem e, caso convirjam, calcule seus limites.

e) e n n !  

Passo 1

Para verificar se a sequência definida pelo termo geral ( a n = e n n ! ) converge e calcular seu limite, podemos usar o critério de convergência da série de potências de Taylor. O critério de convergência de Cauchy nos diz que uma série de termos positivos converge se e somente se o limite do quociente dos termos consecutivos for menor do que 1:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Vamos calcular o limite do quociente dos termos consecutivos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 n + 1 ! e n n ! = lim n → ∞ ⁡ e n + 1 ⋅ n ! n + 1 ! ⋅ e n

Aqui, podemos simplificar a expressão cancelando os fatoriais:

lim n → ∞ ⁡ e n + 1 ⋅ n ! n + 1 ! ⋅ e n = e n ∙ e ⋅ n ! n + 1 ! ⋅ e n = e n + 1

Passo 2

Agora, podemos calcular o limite desta expressão à medida que ( n ) tende ao infinito:

lim n → ∞ ⁡ e n + 1 = e n 1 + 1 n = 0

Assim, confirmamos que a série ( ∑ e n n ! ) converge de acordo com o critério de convergência de Cauchy, e seu limite é zero.

Resposta

Converge e o seu limite é zero.

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