UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 1e
Verifique se as sequencias definidas pelos seguintes termos gerais convergem e, caso convirjam, calcule seus limites.
e)
Passo 1
Para verificar se a sequência definida pelo termo geral converge e calcular seu limite, podemos usar o critério de convergência da série de potências de Taylor. O critério de convergência de Cauchy nos diz que uma série de termos positivos converge se e somente se o limite do quociente dos termos consecutivos for menor do que 1:
Vamos calcular o limite do quociente dos termos consecutivos:
Aqui, podemos simplificar a expressão cancelando os fatoriais:
Passo 2
Agora, podemos calcular o limite desta expressão à medida que tende ao infinito:
Assim, confirmamos que a série converge de acordo com o critério de convergência de Cauchy, e seu limite é zero.
Resposta
Converge e o seu limite é zero.