Quais das sequências convergem? Quais divergem? Encontre o limite das sequências convergentes.

k)

a_n = (n + 1) / (2n) * (1 - 1/n)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a seguinte sequência converge ou diverge para um número no infinito:

a n = n + 1 2 n 1 - 1 n

Caso ela convirja, devemos encontrar o seu limite, ou seja, o número para o qual ela está tendendo.

Para isso, podemos chamar nossa sequência a n de uma função f n :

f n = n + 1 2 n 1 - 1 n

Agora basta aplicarmos o limite!!!

Eaí? Bora lá?

😉

Passo 2

Aplicando o limite no infinito para f n e resolvendo, temos:

lim n → ∞ ⁡ f n =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 1 - 1 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n * lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n ∴

= 1 2 * lim n → ∞ ⁡ n + 1 n * lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n ∴

Perceba uma coisinha... vamos analisar o termo lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n :

Aplicando o limite, independente de n for parou ímpar, vemos que o limite tenderá a 1 , pois:

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n = 1 - 0 = 1

Por outro lado, para o limite lim n → ∞ ⁡ n + 1 n , ao multiplicar o numerador e o denominador por 1 n , temos:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1 = 1 + 0 1 = 1

Assim, juntando os dois limites, obtemos:

= 1 2 * lim n → ∞ ⁡ n + 1 n * lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n = 1 2 * 1 * 1 = 1 2

A sequência converge para   1 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A sequência converge para 1 2

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