Se a série de potências ∑ k = 1 ∞ c k x - a k , para a > 0 , tem raio de convergência igual a R ∈ ( 0 , ∞ ) , então qual é o valor de lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k , quando o limite existe?

  1. 0
  2. R 2
  3. 1 R
  4. R

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? O problema disse que se essa série tem raio de convergência R

∑ k = 1 ∞ c k x - a k

E perguntou qual é o valor de lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . Mas você lembra do conceito de raio de convergência?

Quando temos uma série de potências, o valor de x pode variar, e com isso resultar em uma série numérica divergente! E não queremos isso!

Aí surge o conceito de raio de convergência: é a distância em torno da qual a série é feita (no nosso caso em torno de a ), na qual qualquer valor de x que pegarmos irá resultar em uma série convergente

Mas você lembra como encontrar esse tal de raio de convergência?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Considerando lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x = L , nosso raio de convergência será R = 1 / L

A ideia é aplicar esses conceitos na nossa série! Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série inicial é a seguinte

∑ n = 1 ∞ c n x - a n ⏝ a n

Sabemos que ela converge, então

a n + 1 a n = c n + 1 x - a n + 1 c n x - a n   = c n + 1 c n x - a

E o limite é < 1

ρ = x - a ⏝ c o n v e r g e n t e . lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ⏝ L

Assim o raio de convergência é

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L = 1 R

Tranquilo até aqui?

Então o valor do limite que encontrarmos, pelo teste da razão para uma série convergente tem que ser o inverso do raio!

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 1 R

E a alternativa que nos diz isso é a (c)

Ufa, terminamos! #partiu praticar mais?

Resposta

( c )

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