UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 22
Se a série de potências , para , tem raio de convergência igual a , então qual é o valor de , quando o limite existe?
Passo 1
Olá, tudo tranquilo? O problema disse que se essa série tem raio de convergência
E perguntou qual é o valor de . Mas você lembra do conceito de raio de convergência?
Quando temos uma série de potências, o valor de pode variar, e com isso resultar em uma série numérica divergente! E não queremos isso!
Aí surge o conceito de raio de convergência: é a distância em torno da qual a série é feita (no nosso caso em torno de ), na qual qualquer valor de que pegarmos irá resultar em uma série convergente
Mas você lembra como encontrar esse tal de raio de convergência?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!
Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo
Dizemos que ela é convergente se
Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de isso acontece!
Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Considerando , nosso raio de convergência será
A ideia é aplicar esses conceitos na nossa série! Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série inicial é a seguinte
Sabemos que ela converge, então
E o limite é
Assim o raio de convergência é
Tranquilo até aqui?
Então o valor do limite que encontrarmos, pelo teste da razão para uma série convergente tem que ser o inverso do raio!
E a alternativa que nos diz isso é a (c)
Ufa, terminamos! #partiu praticar mais?